Cálculo Exemplos

$y = x^{2}$ , $y = 20 - x$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} = 20 - x$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} = 20 - x$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$x^{2} + x = 20$

Etapa 1.2.2

Subtraia $20$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + x - 20 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $x^{2} + x - 20$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $1$ .

$- 4, 5 + y = 20 - x$

Etapa 1.2.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

Etapa 1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0 + y = 20 - x$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 1.2.6

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 5$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 4$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $4$ por $x$ .

$y = 20 - (4)$

Etapa 1.3.2

Simplifique $20 - (4)$ .

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Etapa 1.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = 20 - 4$

Etapa 1.3.2.2

Subtraia $4$ de $20$ .

$y = 16$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 5$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $- 5$ por $x$ .

$y = 20 - (- 5)$

Etapa 1.4.2

Simplifique $20 - (- 5)$ .

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Etapa 1.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$y = 20 + 5$

Etapa 1.4.2.2

Some $20$ e $5$ .

$y = 25$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(4, 16)$

$(- 5, 25)$

$(4, 16)$

$(- 5, 25)$

Etapa 2

Reordene $20$ e $- x$ .

$y = - x + 20$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 5}^{4} - x + 20 d x - \int_{- 5}^{4} x^{2} d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 5$ e $4$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 5}^{4} - x + 20 - (x^{2}) d x$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $x^{2}$ .

$\int_{- 5}^{4} - x + 20 - x^{2} d x$

Etapa 4.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 5}^{4} - x d x + \int_{- 5}^{4} 20 d x + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 5}^{4} x d x + \int_{- 5}^{4} 20 d x + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

Etapa 4.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{4}) + \int_{- 5}^{4} 20 d x + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

Etapa 4.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + \int_{- 5}^{4} 20 d x + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

Etapa 4.7

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + 20 x]_{- 5}^{4} + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

Etapa 4.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + 20 x]_{- 5}^{4} - \int_{- 5}^{4} x^{2} d x$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + 20 x]_{- 5}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{4})$

Etapa 4.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.10.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + 20 x]_{- 5}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{4})$

Etapa 4.10.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.10.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $4$ e em $- 5$ .

$- ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 x]_{- 5}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{4})$

Etapa 4.10.2.2

Avalie $20 x$ em $4$ e em $- 5$ .

$- (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{4})$

Etapa 4.10.2.3

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $4$ e em $- 5$ .

$- (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4

Simplifique.

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Etapa 4.10.2.4.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- (\frac{16}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.2

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

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Etapa 4.10.2.4.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$- (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.10.2.4.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{8}{1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.2.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$- (8 - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.3

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$- (8 - \frac{25}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.4

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.5

Combine $8$ e $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{8 \cdot 2 - 25}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.7.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$- \frac{16 - 25}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.7.2

Subtraia $25$ de $16$ .

$- \frac{- 9}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{9}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{9}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.10

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $1$ .

$\frac{9}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.11

Multiplique $20$ por $4$ .

$\frac{9}{2} + 80 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.12

Multiplique $- 20$ por $- 5$ .

$\frac{9}{2} + 80 + 100 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.13

Some $80$ e $100$ .

$\frac{9}{2} + 180 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.14

Para escrever $180$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + 180 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.15

Combine $180$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{180 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 + 180 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.17

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.17.1

Multiplique $180$ por $2$ .

$\frac{9 + 360}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.17.2

Some $9$ e $360$ .

$\frac{369}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.18

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.10.2.4.19

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 125}{3})$

Etapa 4.10.2.4.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} - - \frac{125}{3})$

Etapa 4.10.2.4.21

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{125}{3}))$

Etapa 4.10.2.4.22

Multiplique $\frac{125}{3}$ por $1$ .

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{125}{3})$

Etapa 4.10.2.4.23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{369}{2} - \frac{64 + 125}{3}$

Etapa 4.10.2.4.24

Some $64$ e $125$ .

$\frac{369}{2} - \frac{189}{3}$

Etapa 4.10.2.4.25

Cancele o fator comum de $189$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.25.1

Fatore $3$ de $189$ .

$\frac{369}{2} - \frac{3 \cdot 63}{3}$

Etapa 4.10.2.4.25.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.25.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{369}{2} - \frac{3 \cdot 63}{3 (1)}$

Etapa 4.10.2.4.25.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{369}{2} - \frac{3 \cdot 63}{3 \cdot 1}$

Etapa 4.10.2.4.25.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{369}{2} - \frac{63}{1}$

Etapa 4.10.2.4.25.2.4

Divida $63$ por $1$ .

$\frac{369}{2} - 1 \cdot 63$

Etapa 4.10.2.4.26

Multiplique $- 1$ por $63$ .

$\frac{369}{2} - 63$

Etapa 4.10.2.4.27

Para escrever $- 63$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{369}{2} - 63 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4.10.2.4.28

Combine $- 63$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{369}{2} + \frac{- 63 \cdot 2}{2}$

Etapa 4.10.2.4.29

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{369 - 63 \cdot 2}{2}$

Etapa 4.10.2.4.30

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.30.1

Multiplique $- 63$ por $2$ .

$\frac{369 - 126}{2}$

Etapa 4.10.2.4.30.2

Subtraia $126$ de $369$ .

$\frac{243}{2}$

Etapa 5