Cálculo Exemplos

$y = - x^{2} + 4$ , $y = 3 x$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$- x^{2} + 4 = 3 x$

Etapa 1.2

Resolva $- x^{2} + 4 = 3 x$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} + 4 - 3 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2} + 4 - 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Mova $4$ .

$- x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 3 x + 4 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$- (x^{2}) - (3 x) + 4 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (3 x)$ .

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Etapa 1.2.2.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 4)$ .

$- (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

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Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} + 3 x - 4$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $3$ .

$- 1, 4 + y = 3 x$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 1) (x + 4)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 1) (x + 4) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0 + y = 3 x$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 1) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 4$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = 3 (1)$

Etapa 1.3.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$y = 3$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 4$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $- 4$ por $x$ .

$y = 3 (- 4)$

Etapa 1.4.2

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$y = - 12$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(1, 3)$

$(- 4, - 12)$

$(1, 3)$

$(- 4, - 12)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 4}^{1} - x^{2} + 4 d x - \int_{- 4}^{1} 3 x d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 4$ e $1$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 4}^{1} - x^{2} + 4 - (3 x) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int_{- 4}^{1} - x^{2} + 4 - 3 x d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 4}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 4}^{1} 4 d x + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 4}^{1} x^{2} d x + \int_{- 4}^{1} 4 d x + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{1}) + \int_{- 4}^{1} 4 d x + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + \int_{- 4}^{1} 4 d x + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

Etapa 3.7

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + 4 x]_{- 4}^{1} + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

Etapa 3.8

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + 4 x]_{- 4}^{1} - 3 \int_{- 4}^{1} x d x$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + 4 x]_{- 4}^{1} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{1})$

Etapa 3.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + 4 x]_{- 4}^{1} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{1})$

Etapa 3.10.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.10.2.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $1$ e em $- 4$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 4}^{1} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{1})$

Etapa 3.10.2.2

Avalie $4 x$ em $1$ e em $- 4$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{1})$

Etapa 3.10.2.3

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $1$ e em $- 4$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4

Simplifique.

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Etapa 3.10.2.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.2

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{- 64}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (\frac{1}{3} - - \frac{64}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{64}{3})) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.5

Multiplique $\frac{64}{3}$ por $1$ .

$- (\frac{1}{3} + \frac{64}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1 + 64}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.7

Some $1$ e $64$ .

$- \frac{65}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.8

Multiplique $4$ por $1$ .

$- \frac{65}{3} + 4 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.9

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$- \frac{65}{3} + 4 + 16 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.10

Some $4$ e $16$ .

$- \frac{65}{3} + 20 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.11

Para escrever $20$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{65}{3} + 20 \cdot \frac{3}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.12

Combine $20$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{65}{3} + \frac{20 \cdot 3}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 65 + 20 \cdot 3}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.14

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.14.1

Multiplique $20$ por $3$ .

$\frac{- 65 + 60}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.14.2

Some $- 65$ e $60$ .

$\frac{- 5}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.16

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.4.17

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{16}{2})$

Etapa 3.10.2.4.18

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.18.1

Fatore $2$ de $16$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Etapa 3.10.2.4.18.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.18.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Etapa 3.10.2.4.18.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Etapa 3.10.2.4.18.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{8}{1})$

Etapa 3.10.2.4.18.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 8)$

Etapa 3.10.2.4.19

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - 8)$

Etapa 3.10.2.4.20

Para escrever $- 8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 3.10.2.4.21

Combine $- 8$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})$

Etapa 3.10.2.4.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{5}{3} - 3 \frac{1 - 8 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.10.2.4.23

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.23.1

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$- \frac{5}{3} - 3 \frac{1 - 16}{2}$

Etapa 3.10.2.4.23.2

Subtraia $16$ de $1$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{- 15}{2})$

Etapa 3.10.2.4.24

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{3} - 3 (- \frac{15}{2})$

Etapa 3.10.2.4.25

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- \frac{5}{3} + 3 (\frac{15}{2})$

Etapa 3.10.2.4.26

Combine $3$ e $\frac{15}{2}$ .

$- \frac{5}{3} + \frac{3 \cdot 15}{2}$

Etapa 3.10.2.4.27

Multiplique $3$ por $15$ .

$- \frac{5}{3} + \frac{45}{2}$

Etapa 3.10.2.4.28

Para escrever $- \frac{5}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2}$

Etapa 3.10.2.4.29

Para escrever $\frac{45}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.10.2.4.30

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.30.1

Multiplique $\frac{5}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.10.2.4.30.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{6} + \frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.10.2.4.30.3

Multiplique $\frac{45}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{6} + \frac{45 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.10.2.4.30.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{6} + \frac{45 \cdot 3}{6}$

Etapa 3.10.2.4.31

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 5 \cdot 2 + 45 \cdot 3}{6}$

Etapa 3.10.2.4.32

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.32.1

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$\frac{- 10 + 45 \cdot 3}{6}$

Etapa 3.10.2.4.32.2

Multiplique $45$ por $3$ .

$\frac{- 10 + 135}{6}$

Etapa 3.10.2.4.32.3

Some $- 10$ e $135$ .

$\frac{125}{6}$

Etapa 4