Cálculo Exemplos

$y = - x^{2} + 4 x$ , $y = 0$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$- x^{2} + 4 x = 0$

Etapa 1.2

Resolva $- x^{2} + 4 x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $- x$ de $- x^{2} + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $- x$ de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 4 x = 0$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $- x$ de $4 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 4 = 0$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $- x$ de $- x (x) - x (- 4)$ .

$- x (x - 4) = 0$

Etapa 1.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0 + y = 0$

Etapa 1.2.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 1.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $- x (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 4$

Etapa 1.3

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(4, 0)$

$(0, 0)$

$(4, 0)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{4} - x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{4} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $4$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{4} - x^{2} + 4 x - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $- x^{2} + 4 x$ .

$\int_{0}^{4} - x^{2} + 4 x d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{4} - x^{2} d x + \int_{0}^{4} 4 x d x$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} 4 x d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 4 x d x$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 4 x d x$

Etapa 3.7

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + 4 \int_{0}^{4} x d x$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Etapa 3.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Etapa 3.9.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $4$ e em $0$ .

$- ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Etapa 3.9.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $4$ e em $0$ .

$- (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.3.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- (\frac{64}{3} - 0) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- (\frac{64}{3} + 0) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.5

Some $\frac{64}{3}$ e $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.6

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.7

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.7.1

Fatore $2$ de $16$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.7.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.9.2.3.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{0}{2})$

Etapa 3.9.2.3.9

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.9.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 3.9.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 3.9.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 3.9.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{0}{1})$

Etapa 3.9.2.3.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - 0)$

Etapa 3.9.2.3.10

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 + 0)$

Etapa 3.9.2.3.11

Some $8$ e $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 \cdot 8$

Etapa 3.9.2.3.12

Multiplique $4$ por $8$ .

$- \frac{64}{3} + 32$

Etapa 3.9.2.3.13

Para escrever $32$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + 32 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.9.2.3.14

Combine $32$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.9.2.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 64 + 32 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.9.2.3.16

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.16.1

Multiplique $32$ por $3$ .

$\frac{- 64 + 96}{3}$

Etapa 3.9.2.3.16.2

Some $- 64$ e $96$ .

$\frac{32}{3}$

Etapa 4