Cálculo Exemplos

$y = x^{3}$ , $y = x^{2}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{3} = x^{2}$

Etapa 1.2

Resolva $x^{3} = x^{2}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{3} - x^{2} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$x^{2} x - x^{2} = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 1 = 0 + y = x^{2}$

Etapa 1.2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = {(0)}^{2}$

Etapa 1.3.2

Substitua $0$ por $x$ em $y = {(0)}^{2}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0^{2}$

Etapa 1.3.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = {(1)}^{2}$

Etapa 1.4.2

Substitua $1$ por $x$ em $y = {(1)}^{2}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = 1^{2}$

Etapa 1.4.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = 1$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} x^{2} d x - \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $1$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{1} x^{2} - (x^{3}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $x^{3}$ .

$\int_{0}^{1} x^{2} - x^{3} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{3} d x$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{3} d x$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

Etapa 3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.7.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Etapa 3.7.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.7.2.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Etapa 3.7.2.2

Avalie $\frac{x^{4}}{4}$ em $1$ e em $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.7.2.3

Simplifique.

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Etapa 3.7.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.7.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.7.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.7.2.3.4

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} + 0 (\frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.7.2.3.5

Multiplique $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.7.2.3.6

Some $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.7.2.3.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.7.2.3.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

Etapa 3.7.2.3.9

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

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Etapa 3.7.2.3.9.1

Fatore $4$ de $0$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Etapa 3.7.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.9.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Etapa 3.7.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Etapa 3.7.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

Etapa 3.7.2.3.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{1}{4} - 0)$

Etapa 3.7.2.3.10

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{1}{4} + 0)$

Etapa 3.7.2.3.11

Some $\frac{1}{4}$ e $0$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

Etapa 3.7.2.3.12

Para escrever $\frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 3.7.2.3.13

Para escrever $- \frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.7.2.3.14

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.7.2.3.14.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.7.2.3.14.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.7.2.3.14.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3}$

Etapa 3.7.2.3.14.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{4}{12} - \frac{3}{12}$

Etapa 3.7.2.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - 3}{12}$

Etapa 3.7.2.3.16

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{1}{12}$

Etapa 4