Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 2 x$ , $y = x + 4$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} - 2 x = x + 4$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} - 2 x = x + 4$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x - x = 4$

Etapa 1.2.1.2

Subtraia $x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x = 4$

Etapa 1.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $x^{2} - 3 x - 4$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 4, 1 + y = x + 4$

Etapa 1.2.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Etapa 1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x + 4$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 1.2.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 4$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $4$ por $x$ .

$y = (4) + 4$

Etapa 1.3.2

Substitua $4$ por $x$ em $y = (4) + 4$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 4 + 4$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

$y = (4) + 4$

Etapa 1.3.2.3

Some $4$ e $4$ .

$y = 8$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 1$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$y = (- 1) + 4$

Etapa 1.4.2

Substitua $- 1$ por $x$ em $y = (- 1) + 4$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 1 + 4$

Etapa 1.4.2.2

Remova os parênteses.

$y = (- 1) + 4$

Etapa 1.4.2.3

Some $- 1$ e $4$ .

$y = 3$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(4, 8)$

$(- 1, 3)$

$(4, 8)$

$(- 1, 3)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{4} x + 4 d x - \int_{- 1}^{4} x^{2} - 2 x d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $4$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{4} x + 4 - (x^{2} - 2 x) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 4 - x^{2} - (- 2 x)$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$x + 4 - x^{2} + 2 x$

$\int_{- 1}^{4} x + 4 - x^{2} + 2 x d x$

Etapa 3.3

Some $x$ e $2 x$ .

$\int_{- 1}^{4} 3 x + 4 - x^{2} d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{4} 3 x d x + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Etapa 3.5

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{- 1}^{4} x d x + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Etapa 3.8

Aplique a regra da constante.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Etapa 3.9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - \int_{- 1}^{4} x^{2} d x$

Etapa 3.10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4})$

Etapa 3.11

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.11.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

Etapa 3.11.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.11.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $4$ e em $- 1$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

Etapa 3.11.2.2

Avalie $4 x$ em $4$ e em $- 1$ .

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

Etapa 3.11.2.3

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $4$ e em $- 1$ .

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4

Simplifique.

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Etapa 3.11.2.4.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.2

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

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Etapa 3.11.2.4.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.11.2.4.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.2.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$3 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$3 (8 - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.4

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.5

Combine $8$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.11.2.4.7.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$3 \frac{16 - 1}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.7.2

Subtraia $1$ de $16$ .

$3 (\frac{15}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.8

Combine $3$ e $\frac{15}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 15}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.9

Multiplique $3$ por $15$ .

$\frac{45}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.10

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{45}{2} + 16 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.11

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{45}{2} + 16 + 4 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.12

Some $16$ e $4$ .

$\frac{45}{2} + 20 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.13

Para escrever $20$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} + 20 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.14

Combine $20$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} + \frac{20 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{45 + 20 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.16

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.11.2.4.16.1

Multiplique $20$ por $2$ .

$\frac{45 + 40}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.16.2

Some $45$ e $40$ .

$\frac{85}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.17

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 3.11.2.4.18

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3})$

Etapa 3.11.2.4.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - - \frac{1}{3})$

Etapa 3.11.2.4.20

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Etapa 3.11.2.4.21

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{1}{3})$

Etapa 3.11.2.4.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{85}{2} - \frac{64 + 1}{3}$

Etapa 3.11.2.4.23

Some $64$ e $1$ .

$\frac{85}{2} - \frac{65}{3}$

Etapa 3.11.2.4.24

Para escrever $\frac{85}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{85}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3}$

Etapa 3.11.2.4.25

Para escrever $- \frac{65}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{85}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.11.2.4.26

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.11.2.4.26.1

Multiplique $\frac{85}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{85 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.11.2.4.26.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.11.2.4.26.3

Multiplique $\frac{65}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Etapa 3.11.2.4.26.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{6}$

Etapa 3.11.2.4.27

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{85 \cdot 3 - 65 \cdot 2}{6}$

Etapa 3.11.2.4.28

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.11.2.4.28.1

Multiplique $85$ por $3$ .

$\frac{255 - 65 \cdot 2}{6}$

Etapa 3.11.2.4.28.2

Multiplique $- 65$ por $2$ .

$\frac{255 - 130}{6}$

Etapa 3.11.2.4.28.3

Subtraia $130$ de $255$ .

$\frac{125}{6}$

Etapa 4