Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - x - 6$ , $y = 0$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} - x - 6 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $x^{2} - x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2 + y = 0$

Etapa 1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Etapa 1.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0 + y = 0$

Etapa 1.2.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 1.2.4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 1.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 2$

Etapa 1.3

Substitua $3$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(3, 0)$

$(- 2, 0)$

$(3, 0)$

$(- 2, 0)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 2}^{3} 0 d x - \int_{- 2}^{3} x^{2} - x - 6 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 2$ e $3$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 2}^{3} 0 - (x^{2} - x - 6) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $x^{2} - x - 6$ de $0$ .

$\int_{- 2}^{3} - (x^{2} - x - 6) d x$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{- 2}^{3} - x^{2} + x + 6 d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 2}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} x d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 2}^{3} x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} x d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} x d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} x d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Etapa 3.9

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} + 6 x]_{- 2}^{3}$

Etapa 3.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.10.1

Combine $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3}$ e $6 x]_{- 2}^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 2}^{3}$

Etapa 3.10.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.10.2.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $3$ e em $- 2$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 2}^{3}$

Etapa 3.10.2.2

Avalie $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$ em $3$ e em $- 2$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3

Simplifique.

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Etapa 3.10.2.3.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.2

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

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Etapa 3.10.2.3.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.10.2.3.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{9}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.2.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$- (9 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- (9 - \frac{- 8}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (9 - - \frac{8}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (9 + 1 (\frac{8}{3})) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.6

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $1$ .

$- (9 + \frac{8}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.7

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.8

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{9 \cdot 3 + 8}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.10.2.3.10.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$- \frac{27 + 8}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.10.2

Some $27$ e $8$ .

$- \frac{35}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.11

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{1}{2} \cdot 9 + 6 \cdot 3 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $9$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{9}{2} + 6 \cdot 3 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.13

Multiplique $6$ por $3$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{9}{2} + 18 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.14

Para escrever $18$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{9}{2} + 18 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.15

Combine $18$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{9}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{35}{3} + \frac{9 + 18 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.17

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.10.2.3.17.1

Multiplique $18$ por $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{9 + 36}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.17.2

Some $9$ e $36$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.18

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.19

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{4}{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.20

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 3.10.2.3.20.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.20.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.10.2.3.20.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.20.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.20.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{2}{1} + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.20.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (2 + 6 \cdot - 2)$

Etapa 3.10.2.3.21

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (2 - 12)$

Etapa 3.10.2.3.22

Subtraia $12$ de $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - - 10$

Etapa 3.10.2.3.23

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} + 10$

Etapa 3.10.2.3.24

Para escrever $10$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} + 10 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.10.2.3.25

Combine $10$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} + \frac{10 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.10.2.3.26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{35}{3} + \frac{45 + 10 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.10.2.3.27

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.10.2.3.27.1

Multiplique $10$ por $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45 + 20}{2}$

Etapa 3.10.2.3.27.2

Some $45$ e $20$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{65}{2}$

Etapa 3.10.2.3.28

Para escrever $- \frac{35}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{65}{2}$

Etapa 3.10.2.3.29

Para escrever $\frac{65}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.10.2.3.30

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.10.2.3.30.1

Multiplique $\frac{35}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.10.2.3.30.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.10.2.3.30.3

Multiplique $\frac{65}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{65 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.10.2.3.30.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{65 \cdot 3}{6}$

Etapa 3.10.2.3.31

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 35 \cdot 2 + 65 \cdot 3}{6}$

Etapa 3.10.2.3.32

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.10.2.3.32.1

Multiplique $- 35$ por $2$ .

$\frac{- 70 + 65 \cdot 3}{6}$

Etapa 3.10.2.3.32.2

Multiplique $65$ por $3$ .

$\frac{- 70 + 195}{6}$

Etapa 3.10.2.3.32.3

Some $- 70$ e $195$ .

$\frac{125}{6}$

Etapa 4