Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{3 - 7 x}$ , $x = 0$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\sqrt{3 - 7 x} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $\sqrt{3 - 7 x} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{3 - 7 x}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 - 7 x}$ como ${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Simplifique ${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(3 - 7 x)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Simplifique.

$3 - 7 x = 0^{2}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 - 7 x = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 7 x = - 3$

Etapa 1.2.3.2

Divida cada termo em $- 7 x = - 3$ por $- 7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Divida cada termo em $- 7 x = - 3$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

Etapa 1.2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

Etapa 1.2.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 7}$

Etapa 1.2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{3}{7}$

Etapa 1.3

Substitua $\frac{3}{7}$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(\frac{3}{7}, 0)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x - \int_{0}^{\frac{3}{7}} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $\frac{3}{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $\sqrt{3 - 7 x}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x$

Etapa 3.3

Deixe $u = 3 - 7 x$ . Depois, $d u = - 7 d x$ , então, $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Deixe $u = 3 - 7 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Diferencie $3 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 7 x]$

Etapa 3.3.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 7 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Etapa 3.3.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Etapa 3.3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

Etapa 3.3.1.3.3

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$0 - 7$

Etapa 3.3.1.4

Subtraia $7$ de $0$ .

$- 7$

Etapa 3.3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 - 7 x$ .

$u_{lower} = 3 - 7 \cdot 0$

Etapa 3.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Multiplique $- 7$ por $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Etapa 3.3.3.2

Some $3$ e $0$ .

$u_{lower} = 3$

Etapa 3.3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 - 7 x$ .

$u_{upper} = 3 - 7 (\frac{3}{7})$

Etapa 3.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1.1.1

Fatore $7$ de $- 7$ .

$u_{upper} = 3 + 7 (- 1) \frac{3}{7}$

Etapa 3.3.5.1.1.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 3 + 7 \cdot - 1 \frac{3}{7}$

Etapa 3.3.5.1.1.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = 3 - 1 \cdot 3$

Etapa 3.3.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Etapa 3.3.5.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 3.3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 0$

Etapa 3.3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 7} d u$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Etapa 3.4.2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{7}$ .

$\int_{3}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{3}^{0} \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Etapa 3.6

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{7} \int_{3}^{0} \sqrt{u} d u)$

Etapa 3.7

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} \int_{3}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{0}$

Etapa 3.9

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $0$ e em $3$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Etapa 3.9.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Etapa 3.9.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Etapa 3.9.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Etapa 3.9.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Etapa 3.9.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Etapa 3.9.2.5

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Etapa 3.9.2.6

Combine $3^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{3^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Etapa 3.9.2.7

Mova $2$ para a esquerda de $3^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 3.9.2.8

Mova $3^{1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

Etapa 3.9.2.9

Multiplique $3^{\frac{3}{2}}$ por $3^{- 1}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.9.1

Mova $3^{- 1}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

Etapa 3.9.2.9.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

Etapa 3.9.2.9.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Etapa 3.9.2.9.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Etapa 3.9.2.9.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

Etapa 3.9.2.9.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.9.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

Etapa 3.9.2.9.6.2

Some $- 2$ e $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3.9.2.10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.9.2.11

Subtraia $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{7} (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.9.2.12

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 (\frac{1}{7}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.9.2.13

Combine $2$ e $\frac{1}{7}$ .

$\frac{2}{7} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.9.2.14

Combine $\frac{2}{7}$ e $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{7}$

Etapa 4