Cálculo Exemplos

$x - 2 y = - 5$ , $x^{2} + y^{2} = 25$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $2 y$ aos dois lados da equação.

$x = - 5 + 2 y$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Etapa 1.2

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $- 5 + 2 y$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $x^{2} + y^{2} = 25$ por $- 5 + 2 y$ .

${(- 5 + 2 y)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Simplifique ${(- 5 + 2 y)}^{2} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.1

Reescreva ${(- 5 + 2 y)}^{2}$ como $(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y)$ .

$(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.2.2.1.1.2

Expanda $(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 (- 5 + 2 y) + 2 y (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.2.2.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.2.2.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.2.2.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.3.1.1

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$25 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.2.2.1.1.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$25 - 10 y + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.2.2.1.1.3.1.3

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.2.2.1.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.2.2.1.1.3.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.3.1.5.1

Mova $y$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.2.2.1.1.3.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.2.2.1.1.3.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$25 - 10 y - 10 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 10 y - 10 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.2.2.1.1.3.2

Subtraia $10 y$ de $- 10 y$ .

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.2.2.1.2

Some $4 y^{2}$ e $y^{2}$ .

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.3

Resolva $y$ em $25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$25 - 20 y + 5 y^{2} - 25 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.3.2

Combine os termos opostos em $25 - 20 y + 5 y^{2} - 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Subtraia $25$ de $25$ .

$- 20 y + 5 y^{2} + 0 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.3.2.2

Some $- 20 y + 5 y^{2}$ e $0$ .

$- 20 y + 5 y^{2} = 0$

$x = - 5 + 2 y$

$- 20 y + 5 y^{2} = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.3.3

Fatore $- 5 y$ de $- 20 y + 5 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reordene $- 20 y$ e $5 y^{2}$ .

$5 y^{2} - 20 y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.3.3.2

Fatore $- 5 y$ de $5 y^{2}$ .

$- 5 y (- y) - 20 y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.3.3.3

Fatore $- 5 y$ de $- 20 y$ .

$- 5 y (- y) - 5 y \cdot 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.3.3.4

Fatore $- 5 y$ de $- 5 y (- y) - 5 y (4)$ .

$- 5 y (- y + 4) = 0$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 y (- y + 4) = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y = 0$

$- y + 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.3.5

Defina $y$ como igual a $0$ .

$y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.3.6

Defina $- y + 4$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Defina $- y + 4$ como igual a $0$ .

$- y + 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.3.6.2

Resolva $- y + 4 = 0$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- y = - 4$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.3.6.2.2

Divida cada termo em $- y = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.2.1

Divida cada termo em $- y = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.3.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.3.6.2.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.3.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.3.7

A solução final são todos os valores que tornam $- 5 y (- y + 4) = 0$ verdadeiro.

$y = 0, 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 0, 4$

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $0$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = - 5 + 2 y$ por $0$ .

$x = - 5 + 2 (0)$

$y = 0$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Simplifique $- 5 + 2 (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$x = - 5 + 0$

$y = 0$

Etapa 1.4.2.1.2

Some $- 5$ e $0$ .

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

Etapa 1.5

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $4$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = - 5 + 2 y$ por $4$ .

$x = - 5 + 2 (4)$

$y = 4$

Etapa 1.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Simplifique $- 5 + 2 (4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = - 5 + 8$

$y = 4$

Etapa 1.5.2.1.2

Some $- 5$ e $8$ .

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

Etapa 1.6

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(- 5, 0)$

$(3, 4)$

$(- 5, 0)$

$(3, 4)$

Etapa 2

Some $2 y$ aos dois lados da equação.

$x = - 5 + 2 y$

Etapa 3

Resolva $x^{2} + y^{2} = 25$ em termos de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = 25 - y^{2}$

Etapa 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25 - y^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique $\pm \sqrt{25 - y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} - y^{2}}$

Etapa 3.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 5$ e $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Etapa 4

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} d y - \int_{0}^{4} - 5 + 2 y d y$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} - (- 5 + 2 y) d y$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} - - 5 - (2 y)$

Etapa 5.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - (2 y)$

Etapa 5.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - 2 y$

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - 2 y d y$

Etapa 5.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} d y + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.4

Complete o quadrado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Expanda $(5 + y) (5 - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (5 - y) + y (5 - y)$

Etapa 5.4.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \cdot 5 + 5 (- y) + y (5 - y)$

Etapa 5.4.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \cdot 5 + 5 (- y) + y \cdot 5 + y (- y)$

Etapa 5.4.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.2.1.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$25 + 5 (- y) + y \cdot 5 + y (- y)$

Etapa 5.4.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$25 - 5 y + y \cdot 5 + y (- y)$

Etapa 5.4.1.2.1.3

Mova $5$ para a esquerda de $y$ .

$25 - 5 y + 5 \cdot y + y (- y)$

Etapa 5.4.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$25 - 5 y + 5 y - y \cdot y$

Etapa 5.4.1.2.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.2.1.5.1

Mova $y$ .

$25 - 5 y + 5 y - (y \cdot y)$

Etapa 5.4.1.2.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$25 - 5 y + 5 y - y^{2}$

Etapa 5.4.1.2.2

Some $- 5 y$ e $5 y$ .

$25 + 0 - y^{2}$

Etapa 5.4.1.2.3

Some $25$ e $0$ .

$25 - y^{2}$

Etapa 5.4.1.3

Reordene $25$ e $- y^{2}$ .

$- y^{2} + 25$

Etapa 5.4.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 25$

Etapa 5.4.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.4.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Etapa 5.4.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Etapa 5.4.4.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Etapa 5.4.4.2.2

Reescreva $- 1 \cdot 0$ como $- 0$ .

$d = - 0$

Etapa 5.4.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$d = 0$

Etapa 5.4.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 25 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 5.4.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e = 25 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Etapa 5.4.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 25 - \frac{0}{- 4}$

Etapa 5.4.5.2.1.3

Divida $0$ por $- 4$ .

$e = 25 - 0$

Etapa 5.4.5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e = 25 + 0$

Etapa 5.4.5.2.2

Some $25$ e $0$ .

$e = 25$

Etapa 5.4.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(y + 0)}^{2} + 25$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{- {(y + 0)}^{2} + 25} d y + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.5

Deixe $u_{1} = y + 0$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Deixe $u_{1} = y + 0$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Diferencie $y + 0$ .

$\frac{d}{d y} [y + 0]$

Etapa 5.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 0$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$

Etapa 5.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [0]$

Etapa 5.5.1.4

Como $0$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $0$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.5.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u_{1} = y + 0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Etapa 5.5.3

Some $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 5.5.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u_{1} = y + 0$ .

$u_{upper} = 4 + 0$

Etapa 5.5.5

Some $4$ e $0$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 5.5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Etapa 5.5.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{4} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 25} d u_{1} + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.6

Deixe $u_{1} = 5 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u_{1} = 5 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \cos (t)$ é positivo.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- {(5 \sin (t))}^{2} + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Simplifique $\sqrt{- {(5 \sin (t))}^{2} + 25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1.1.1

Aplique a regra do produto a $5 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- (5^{2} \sin^{2} (t)) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.7.1.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- (25 \sin^{2} (t)) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.7.1.1.3

Multiplique $25$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- 25 \sin^{2} (t) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.7.1.2

Reordene $- 25 \sin^{2} (t)$ e $25$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.7.1.3

Fatore $25$ de $25$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.7.1.4

Fatore $25$ de $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.7.1.5

Fatore $25$ de $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.7.1.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.7.1.7

Reescreva $25 \cos^{2} (t)$ como ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.7.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{0}^{0.92729521} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos (t) \cos (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.7.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.7.2.3

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.7.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.7.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos^{2} (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.8

Como $25$ é constante com relação a $t$ , mova $25$ para fora da integral.

$25 \int_{0}^{0.92729521} \cos^{2} (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.9

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$25 \int_{0}^{0.92729521} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$25 (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $25$ .

$\frac{25}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.12

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{25}{2} (\int_{0}^{0.92729521} d t + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.13

Aplique a regra da constante.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.14

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Depois, $d u_{2} = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 5.14.1

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 5.14.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 5.14.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 5.14.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 5.14.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 5.14.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 5.14.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 5.14.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.92729521$

Etapa 5.14.5

Multiplique $2$ por $0.92729521$ .

$u_{upper} = 1.85459043$

Etapa 5.14.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.85459043$

Etapa 5.14.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.15

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.16

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1.85459043} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.17

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.18

Aplique a regra da constante.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Etapa 5.19

Como $- 2$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 \int_{0}^{4} y d y$

Etapa 5.20

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4})$

Etapa 5.21

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Etapa 5.22

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.22.1

Avalie $t$ em $0.92729521$ e em $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Etapa 5.22.2

Avalie $\sin (u_{2})$ em $1.85459043$ e em $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Etapa 5.22.3

Avalie $5 y$ em $4$ e em $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Etapa 5.22.4

Avalie $\frac{y^{2}}{2}$ em $4$ e em $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.22.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.22.5.1

Some $0.92729521$ e $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.22.5.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.22.5.3

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 + 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.22.5.4

Some $20$ e $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.22.5.5

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.22.5.6

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.22.5.6.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.22.5.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.22.5.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.22.5.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.22.5.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.22.5.6.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.22.5.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0}{2})$

Etapa 5.22.5.8

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.22.5.8.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 5.22.5.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.22.5.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 5.22.5.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 5.22.5.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0}{1})$

Etapa 5.22.5.8.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - 0)$

Etapa 5.22.5.9

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 + 0)$

Etapa 5.22.5.10

Some $8$ e $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 \cdot 8$

Etapa 5.22.5.11

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 16$

Etapa 5.22.5.12

Subtraia $16$ de $20$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 4$

Etapa 5.23

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.23.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - 0)) + 4$

Etapa 5.23.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) + 0)) + 4$

Etapa 5.23.3

Some $\sin (1.85459043)$ e $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} \sin (1.85459043)) + 4$

Etapa 5.23.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (1.85459043)$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{\sin (1.85459043)}{2}) + 4$

Etapa 5.23.5

Some $0.92729521$ e $\frac{\sin (1.85459043)}{2}$ .

$\frac{25}{2} \cdot 1.40729521 + 4$

Etapa 5.23.6

Combine $\frac{25}{2}$ e $1.40729521$ .

$\frac{25 \cdot 1.40729521}{2} + 4$

Etapa 5.23.7

Multiplique $25$ por $1.40729521$ .

$\frac{35.18238045}{2} + 4$

Etapa 5.23.8

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35.18238045}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.23.9

Combine $4$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35.18238045}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Etapa 5.23.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{35.18238045 + 4 \cdot 2}{2}$

Etapa 5.23.11

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{35.18238045 + 8}{2}$

Etapa 5.23.12

Some $35.18238045$ e $8$ .

$\frac{43.18238045}{2}$

Etapa 5.24

Divida $43.18238045$ por $2$ .

$21.59119022$

Etapa 6