Cálculo Exemplos

$y = e^{0.4 x}$ , $y = 5 + x^{2}$ , $x = 2$ , $x = 3$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$e^{0.4 x} = 5 + x^{2}$

Etapa 1.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx 12.83601099 + y = 5 + x^{2}$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 12.83601099$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $12.83601099$ por $x$ .

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

Etapa 1.3.2

Substitua $12.83601099$ por $x$ em $y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 5 + {12.83601099}^{2}$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

Etapa 1.3.2.3

Simplifique $5 + {(12.83601099)}^{2}$ .

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Etapa 1.3.2.3.1

Eleve $12.83601099$ à potência de $2$ .

$y = 5 + 164.76317813$

Etapa 1.3.2.3.2

Some $5$ e $164.76317813$ .

$y = 169.76317813$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(12.83601099, 169.76317813)$

Etapa 2

Reordene $5$ e $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 5$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{2}^{3} x^{2} + 5 d x - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $2$ e $3$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - (e^{0.4 x}) d x$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $e^{0.4 x}$ .

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - e^{0.4 x} d x$

Etapa 4.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{2}^{3} x^{2} d x + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Etapa 4.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Etapa 4.5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Etapa 4.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

Etapa 4.7

Deixe $u = 0.4 x$ . Depois, $d u = 0.4 d x$ , então, $\frac{1}{0.4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.7.1

Deixe $u = 0.4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.7.1.1

Diferencie $0.4 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.4 x]$

Etapa 4.7.1.2

Como $0.4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.4 x$ em relação a $x$ é $0.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0.4 \cdot 1$

Etapa 4.7.1.4

Multiplique $0.4$ por $1$ .

$0.4$

Etapa 4.7.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 0.4 x$ .

$u_{lower} = 0.4 \cdot 2$

Etapa 4.7.3

Multiplique $0.4$ por $2$ .

$u_{lower} = 0.8$

Etapa 4.7.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 0.4 x$ .

$u_{upper} = 0.4 \cdot 3$

Etapa 4.7.5

Multiplique $0.4$ por $3$ .

$u_{upper} = 1.2$

Etapa 4.7.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0.8$

$u_{upper} = 1.2$

Etapa 4.7.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} e^{u} \frac{1}{0.4} d u$

Etapa 4.8

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{0.4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Etapa 4.9

Como $\frac{1}{0.4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{0.4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - (\frac{1}{0.4} \int_{0.8}^{1.2} e^{u} d u)$

Etapa 4.10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Etapa 4.11

Combine $\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}$ e $5 x]_{2}^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Etapa 4.12

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.12.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ em $3$ e em $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Etapa 4.12.2

Avalie $e^{u}$ em $1.2$ e em $0.8$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3

Simplifique.

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Etapa 4.12.3.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $27$ .

$\frac{27}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.3

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

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Etapa 4.12.3.3.1

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.12.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.3.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$9 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$9 + 15 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.5

Some $9$ e $15$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.6

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $8$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.8

Multiplique $5$ por $2$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 10) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.9

Para escrever $10$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.10

Combine $10$ e $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$24 - \frac{8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.12.3.12.1

Multiplique $10$ por $3$ .

$24 - \frac{8 + 30}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.12.2

Some $8$ e $30$ .

$24 - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.13

Para escrever $24$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.14

Combine $24$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{24 \cdot 3 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.16

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.12.3.16.1

Multiplique $24$ por $3$ .

$\frac{72 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.16.2

Subtraia $38$ de $72$ .

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Etapa 4.12.3.17

Para escrever $- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.12.3.18

Combine $- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{34}{3} + \frac{- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

Etapa 4.12.3.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{34 - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

Etapa 4.12.3.20

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{34 - 3 (\frac{1}{0.4}) (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Etapa 4.12.3.21

Combine $- 3$ e $\frac{1}{0.4}$ .

$\frac{34 + \frac{- 3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Etapa 4.12.3.22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{34 - \frac{3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Etapa 4.13

Simplifique.

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Etapa 4.13.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.13.1.1

Divida $3$ por $0.4$ .

$\frac{34 - 1 \cdot 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Etapa 4.13.1.2

Multiplique $- 1$ por $7.5$ .

$\frac{34 - 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Etapa 4.13.1.3

Multiplique $- 7.5$ por $e^{1.2} - e^{0.8}$ .

$\frac{34 - 8.20931995}{3}$

Etapa 4.13.1.4

Subtraia $8.20931995$ de $34$ .

$\frac{25.79068004}{3}$

Etapa 4.13.2

Divida $25.79068004$ por $3$ .

$8.59689334$

Etapa 5