Cálculo Exemplos

$y = x^{2}$ , $y = x$ , $x = - 1$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} = x$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} = x$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $x$ de $x^{2} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0 + y = x$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.3.2

Remova os parênteses.

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = 1$

Etapa 1.4.2

Remova os parênteses.

$y = 1$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} x^{2} d x - \int_{- 1}^{0} x d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{0} x^{2} - (x) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $x$ .

$\int_{- 1}^{0} x^{2} - x d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{0} x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} x d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Etapa 3.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Etapa 3.7.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3}$ em $0$ e em $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Etapa 3.7.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $0$ e em $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$0 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$0 - \frac{1}{3} \cdot - 1 - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.5

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.6

Some $0$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.8

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.8.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.8.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{1}{3} - (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.9

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{3} - (0 - \frac{1}{2})$

Etapa 3.7.2.3.10

Subtraia $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$\frac{1}{3} - - \frac{1}{2}$

Etapa 3.7.2.3.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.7.2.3.12

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.7.2.3.13

Para escrever $\frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.7.2.3.14

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.7.2.3.15

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.15.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.7.2.3.15.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.7.2.3.15.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.2.3.15.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Etapa 3.7.2.3.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 + 3}{6}$

Etapa 3.7.2.3.17

Some $2$ e $3$ .

$\frac{5}{6}$

Etapa 4

$A r e a = \int_{0}^{1} x d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $0$ e $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{1} x - (x^{2}) d x$

Etapa 5.2

Multiplique $- 1$ por $x^{2}$ .

$\int_{0}^{1} x - x^{2} d x$

Etapa 5.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Etapa 5.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Etapa 5.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Etapa 5.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Etapa 5.7.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1

Avalie $\frac{1}{2} x^{2}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Etapa 5.7.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $1$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 5.7.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 5.7.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 5.7.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 5.7.2.3.4

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 5.7.2.3.5

Multiplique $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 5.7.2.3.6

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 5.7.2.3.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 5.7.2.3.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Etapa 5.7.2.3.9

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.3.9.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Etapa 5.7.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.3.9.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 5.7.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 5.7.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Etapa 5.7.2.3.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0)$

Etapa 5.7.2.3.10

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0)$

Etapa 5.7.2.3.11

Some $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

Etapa 5.7.2.3.12

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 5.7.2.3.13

Para escrever $- \frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.7.2.3.14

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.3.14.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.7.2.3.14.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.7.2.3.14.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}$

Etapa 5.7.2.3.14.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6}$

Etapa 5.7.2.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 - 2}{6}$

Etapa 5.7.2.3.16

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1}{6}$

Etapa 6

Some as áreas $\frac{5}{6} + \frac{1}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 + 1}{6}$

Etapa 6.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Some $5$ e $1$ .

$\frac{6}{6}$

Etapa 6.2.2

Divida $6$ por $6$ .

$1$

Etapa 7