Cálculo Exemplos

$y = x^{\frac{4}{3}}$ , $y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2

Resolva $x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Elimine os expoentes fracionários multiplicando os dois expoentes pelo MMC.

${(x^{\frac{4}{3}})}^{3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Etapa 1.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Etapa 1.2.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Etapa 1.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{4} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Etapa 1.2.3

Simplifique ${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Aplique a regra do produto a $2 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{4} = 2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Etapa 1.2.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$x^{4} = 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{4} = 8 x^{1}$

Etapa 1.2.3.4

Simplifique.

$x^{4} = 8 x$

Etapa 1.2.4

Subtraia $8 x$ dos dois lados da equação.

$x^{4} - 8 x = 0$

Etapa 1.2.5

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Fatore $x$ de $x^{4} - 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 8 x = 0$

Etapa 1.2.5.1.2

Fatore $x$ de $- 8 x$ .

$x \cdot x^{3} + x \cdot - 8 = 0$

Etapa 1.2.5.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{3} + x \cdot - 8$ .

$x (x^{3} - 8) = 0$

Etapa 1.2.5.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Etapa 1.2.5.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Etapa 1.2.5.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.1.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Etapa 1.2.5.4.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Etapa 1.2.5.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Etapa 1.2.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.7

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.8

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.8.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.9

Defina $x^{2} + 2 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1

Defina $x^{2} + 2 x + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Etapa 1.2.9.2

Resolva $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.9.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.9.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.3.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.3.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.3.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.3.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.9.2.3.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.9.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.4.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.4.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.4.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.4.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.4.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.4.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.4.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.9.2.4.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.9.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.9.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.5.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.5.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.5.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.5.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.5.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.5.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.9.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.9.2.5.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.9.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.9.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.10

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.3.2

Substitua $0$ por $x$ em $y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$y = 2 \cdot {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Etapa 1.3.2.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Etapa 1.3.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y = 2 \cdot 0^{1}$

Etapa 1.3.2.2.3

Avalie o expoente.

$y = 2 \cdot 0$

Etapa 1.3.2.2.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.4.2

Substitua $2$ por $x$ em $y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.4.2.2

Multiplique $2$ por $2^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Multiplique $2$ por $2^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$y = 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = 2^{1 + \frac{1}{3}}$

Etapa 1.4.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = 2^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Etapa 1.4.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 2^{\frac{3 + 1}{3}}$

Etapa 1.4.2.2.4

Some $3$ e $1$ .

$y = 2^{\frac{4}{3}}$

Etapa 1.5

Substitua $- 1 + i \sqrt{3}$ por $x$ .

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.6

Substitua $- 1 - i \sqrt{3}$ por $x$ .

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.7

Liste todas as soluções.

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 2

A área entre as curvas em questão é ilimitada.

Área não limitada

Etapa 3