Cálculo Exemplos

$y = x^{\frac{9}{8}}$ , $y = 7 x^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{\frac{9}{8}} = 7 x^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.2

Resolva $x^{\frac{9}{8}} = 7 x^{\frac{1}{8}}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Elimine os expoentes fracionários multiplicando os dois expoentes pelo MMC.

${(x^{\frac{9}{8}})}^{8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Etapa 1.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{9}{8}})}^{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{9}{8} \cdot 8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Etapa 1.2.2.2

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{9}{8} \cdot 8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Etapa 1.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{9} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Etapa 1.2.3

Simplifique ${(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Aplique a regra do produto a $7 x^{\frac{1}{8}}$ .

$x^{9} = 7^{8} {(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Etapa 1.2.3.2

Eleve $7$ à potência de $8$ .

$x^{9} = 5764801 {(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{9} = 5764801 x^{\frac{1}{8} \cdot 8}$

Etapa 1.2.3.3.2

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{9} = 5764801 x^{\frac{1}{8} \cdot 8}$

Etapa 1.2.3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{9} = 5764801 x^{1}$

Etapa 1.2.3.4

Simplifique.

$x^{9} = 5764801 x$

Etapa 1.2.4

Subtraia $5764801 x$ dos dois lados da equação.

$x^{9} - 5764801 x = 0$

Etapa 1.2.5

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Fatore $x$ de $x^{9} - 5764801 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1.1

Fatore $x$ de $x^{9}$ .

$x \cdot x^{8} - 5764801 x = 0$

Etapa 1.2.5.1.2

Fatore $x$ de $- 5764801 x$ .

$x \cdot x^{8} + x \cdot - 5764801 = 0$

Etapa 1.2.5.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{8} + x \cdot - 5764801$ .

$x (x^{8} - 5764801) = 0$

Etapa 1.2.5.2

Reescreva $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

$x ({(x^{4})}^{2} - 5764801) = 0$

Etapa 1.2.5.3

Reescreva $5764801$ como $2401^{2}$ .

$x ({(x^{4})}^{2} - 2401^{2}) = 0$

Etapa 1.2.5.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{4}$ e $b = 2401$ .

$x ((x^{4} + 2401) (x^{4} - 2401)) = 0$

Etapa 1.2.5.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.5.1.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ((x^{4} + 2401) ({(x^{2})}^{2} - 2401)) = 0$

Etapa 1.2.5.5.1.2

Reescreva $2401$ como $49^{2}$ .

$x ((x^{4} + 2401) ({(x^{2})}^{2} - 49^{2})) = 0$

Etapa 1.2.5.5.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 49$ .

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x^{2} - 49))) = 0$

Etapa 1.2.5.5.1.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.5.1.4.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.5.1.4.1.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x^{2} - 7^{2}))) = 0$

Etapa 1.2.5.5.1.4.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.5.1.4.1.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 7$ .

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) ((x + 7) (x - 7)))) = 0$

Etapa 1.2.5.5.1.4.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7))) = 0$

Etapa 1.2.5.5.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x ((x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7)) = 0$

Etapa 1.2.5.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7) = 0$

Etapa 1.2.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{4} + 2401 = 0$

$x^{2} + 49 = 0$

$x + 7 = 0$

$x - 7 = 0 + y = 7 x^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.2.7

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.8

Defina $x^{4} + 2401$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Defina $x^{4} + 2401$ como igual a $0$ .

$x^{4} + 2401 = 0$

Etapa 1.2.8.2

Resolva $x^{4} + 2401 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.1

Subtraia $2401$ dos dois lados da equação.

$x^{4} = - 2401$

Etapa 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{- 2401}$

Etapa 1.2.8.2.3

Simplifique $\pm \sqrt[4]{- 2401}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.3.1

Reescreva $- 2401$ como $7^{4} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.3.1.1

Fatore $2401$ de $- 2401$ .

$x = \pm \sqrt[4]{2401 (- 1)}$

Etapa 1.2.8.2.3.1.2

Reescreva $2401$ como $7^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{7^{4} \cdot - 1}$

Etapa 1.2.8.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 7 \sqrt[4]{- 1}$

Etapa 1.2.8.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

Etapa 1.2.8.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

Etapa 1.2.8.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 7 \sqrt[4]{- 1}, - 7 \sqrt[4]{- 1}$

Etapa 1.2.9

Defina $x^{2} + 49$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1

Defina $x^{2} + 49$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 49 = 0$

Etapa 1.2.9.2

Resolva $x^{2} + 49 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.1

Subtraia $49$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 49$

Etapa 1.2.9.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Etapa 1.2.9.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 49}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.3.1

Reescreva $- 49$ como $- 1 (49)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Etapa 1.2.9.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (49)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Etapa 1.2.9.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Etapa 1.2.9.2.3.4

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Etapa 1.2.9.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 7$

Etapa 1.2.9.2.3.6

Mova $7$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 7 i$

Etapa 1.2.9.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 7 i$

Etapa 1.2.9.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 7 i$

Etapa 1.2.9.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 7 i, - 7 i$

Etapa 1.2.10

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 1.2.10.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 1.2.11

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 1.2.11.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 1.2.12

A solução final são todos os valores que tornam $x (x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 7 \sqrt[4]{- 1}, - 7 \sqrt[4]{- 1}, 7 i, - 7 i, - 7, 7$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 7 {(0)}^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.3.2

Substitua $0$ por $x$ em $y = 7 {(0)}^{\frac{1}{8}}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 7 \cdot 0^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $7 \cdot 0^{\frac{1}{8}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{8}$ .

$y = 7 \cdot {(0^{8})}^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 7 \cdot 0^{8 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.3.2.2.2

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y = 7 \cdot 0^{8 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.3.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y = 7 \cdot 0^{1}$

Etapa 1.3.2.2.3

Avalie o expoente.

$y = 7 \cdot 0$

Etapa 1.3.2.2.4

Multiplique $7$ por $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 7 \sqrt[4]{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $7 \sqrt[4]{- 1}$ por $x$ .

$y = 7 {(7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.4.2

Simplifique $7 {(7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Aplique a regra do produto a $7 \sqrt[4]{- 1}$ .

$y = 7 (7^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}})$

Etapa 1.4.2.2

Multiplique $7$ por $7^{\frac{1}{8}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Mova $7^{\frac{1}{8}}$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7 {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.4.2.2.2

Multiplique $7^{\frac{1}{8}}$ por $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Eleve $7$ à potência de $1$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7^{1} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = 7^{\frac{1}{8} + 1} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.4.2.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = 7^{\frac{1}{8} + \frac{8}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.4.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 7^{\frac{1 + 8}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.4.2.2.5

Some $1$ e $8$ .

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.5

Avalie $y$ quando $x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Substitua $- 7 \sqrt[4]{- 1}$ por $x$ .

$y = 7 {(- 7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.5.2

Aplique a regra do produto a $- 7 \sqrt[4]{- 1}$ .

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.6

Avalie $y$ quando $x = 7 i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Substitua $7 i$ por $x$ .

$y = 7 {(7 i)}^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.6.2

Simplifique $7 {(7 i)}^{\frac{1}{8}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1

Aplique a regra do produto a $7 i$ .

$y = 7 (7^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}})$

Etapa 1.6.2.2

Multiplique $7$ por $7^{\frac{1}{8}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.2.1

Mova $7^{\frac{1}{8}}$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7 i^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.6.2.2.2

Multiplique $7^{\frac{1}{8}}$ por $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.2.2.1

Eleve $7$ à potência de $1$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7^{1} i^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.6.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = 7^{\frac{1}{8} + 1} i^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.6.2.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = 7^{\frac{1}{8} + \frac{8}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.6.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 7^{\frac{1 + 8}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.6.2.2.5

Some $1$ e $8$ .

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.7

Avalie $y$ quando $x = - 7 i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Substitua $- 7 i$ por $x$ .

$y = 7 {(- 7 i)}^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.7.2

Aplique a regra do produto a $- 7 i$ .

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.8

Substitua $- 7$ por $x$ .

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.9

Avalie $y$ quando $x = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Substitua $7$ por $x$ .

$y = 7 {(7)}^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.9.2

Substitua $7$ por $x$ em $y = 7 {(7)}^{\frac{1}{8}}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.2.1

Remova os parênteses.

$y = 7 \cdot 7^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.9.2.2

Multiplique $7$ por $7^{\frac{1}{8}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.2.2.1

Multiplique $7$ por $7^{\frac{1}{8}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.2.2.1.1

Eleve $7$ à potência de $1$ .

$y = 7^{1} \cdot 7^{\frac{1}{8}}$

Etapa 1.9.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = 7^{1 + \frac{1}{8}}$

Etapa 1.9.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = 7^{\frac{8}{8} + \frac{1}{8}}$

Etapa 1.9.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 7^{\frac{8 + 1}{8}}$

Etapa 1.9.2.2.4

Some $8$ e $1$ .

$y = 7^{\frac{9}{8}}$

Etapa 1.10

Liste todas as soluções.

$y = 0, x = 0$

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = - 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}, x = - 7$

$y = 7^{\frac{9}{8}}, x = 7$

$y = 0, x = 0$

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = - 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}, x = - 7$

$y = 7^{\frac{9}{8}}, x = 7$

Etapa 2

A área entre as curvas em questão é ilimitada.

Área não limitada

Etapa 3