Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{x}$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $y = 0$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = \frac{1}{x}$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

$V = \frac{1^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$V = π \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = π \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$V = π \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$V = π - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $- x^{- 1}$ em $2$ e em $1$ .

$V = π ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = π (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Etapa 5.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = π (- \frac{1}{2} + 1)$

Etapa 5.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$V = π (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Etapa 5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{- 1 + 2}{2})$

Etapa 5.2.5

Some $- 1$ e $2$ .

$V = π (\frac{1}{2})$

Etapa 5.2.6

Combine $π$ e $\frac{1}{2}$ .

$V = \frac{π}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{π}{2}$

Forma decimal:

$V = 1.57079632 \dots$

Etapa 7