Cálculo Exemplos

$y = 2 x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 2$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = 2 x^{2}$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Aplique a regra do produto a $2 x^{2}$ .

$V = 2^{2} {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$V = 4 {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 x^{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$V = 4 x^{4}$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$V = π (4 \int_{0}^{2} x^{4} d x)$

Etapa 4

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$V = 4 π \int_{0}^{2} x^{4} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = 4 π \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = 4 π \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}$

Etapa 6.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Avalie $\frac{x^{5}}{5}$ em $2$ e em $0$ .

$V = 4 π ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5})$

Etapa 6.2.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Etapa 6.2.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0}{5})$

Etapa 6.2.2.3

Cancele o fator comum de $0$ e $5$ .

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Etapa 6.2.2.3.1

Fatore $5$ de $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Etapa 6.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Etapa 6.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Etapa 6.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0}{1})$

Etapa 6.2.2.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - 0)$

Etapa 6.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} + 0)$

Etapa 6.2.2.5

Some $\frac{32}{5}$ e $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5})$

Etapa 6.2.2.6

Combine $\frac{32}{5}$ e $4$ .

$V = \frac{32 \cdot 4}{5} \cdot π$

Etapa 6.2.2.7

Multiplique $32$ por $4$ .

$V = \frac{128}{5} \cdot π$

Etapa 6.2.2.8

Combine $\frac{128}{5}$ e $π$ .

$V = \frac{128 π}{5}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{128 π}{5}$

Forma decimal:

$V = 80.42477193 \dots$

Etapa 8