Cálculo Exemplos

$y = x^{2}$ , $y = 4 x$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = 4 x$ e $g (x) = x^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$V = 4^{2} x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$V = 16 x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 16 x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$V = 16 x^{2} - x^{4}$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{0}^{4} 16 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Etapa 4

Como $16$ é constante com relação a $x$ , mova $16$ para fora da integral.

$V = π (16 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x^{4} d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{4}))$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

Etapa 9.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $4$ e em $0$ .

$V = π (16 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

Etapa 9.2.2

Avalie $\frac{x^{5}}{5}$ em $4$ e em $0$ .

$V = π (16 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Etapa 9.2.3

Simplifique.

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Etapa 9.2.3.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Etapa 9.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Etapa 9.2.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 9.2.3.3.1

Fatore $3$ de $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Etapa 9.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Etapa 9.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Etapa 9.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Etapa 9.2.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Etapa 9.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} + 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Etapa 9.2.3.5

Some $\frac{64}{3}$ e $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Etapa 9.2.3.6

Combine $16$ e $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{16 \cdot 64}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Etapa 9.2.3.7

Multiplique $16$ por $64$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Etapa 9.2.3.8

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Etapa 9.2.3.9

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}))$

Etapa 9.2.3.10

Cancele o fator comum de $0$ e $5$ .

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Etapa 9.2.3.10.1

Fatore $5$ de $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Etapa 9.2.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.3.10.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Etapa 9.2.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Etapa 9.2.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}))$

Etapa 9.2.3.10.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - 0))$

Etapa 9.2.3.11

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} + 0))$

Etapa 9.2.3.12

Some $\frac{1024}{5}$ e $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - \frac{1024}{5})$

Etapa 9.2.3.13

Para escrever $\frac{1024}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5})$

Etapa 9.2.3.14

Para escrever $- \frac{1024}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 9.2.3.15

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 9.2.3.15.1

Multiplique $\frac{1024}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 9.2.3.15.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 9.2.3.15.3

Multiplique $\frac{1024}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

Etapa 9.2.3.15.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{15})$

Etapa 9.2.3.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{1024 \cdot 5 - 1024 \cdot 3}{15})$

Etapa 9.2.3.17

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.3.17.1

Multiplique $1024$ por $5$ .

$V = π (\frac{5120 - 1024 \cdot 3}{15})$

Etapa 9.2.3.17.2

Multiplique $- 1024$ por $3$ .

$V = π (\frac{5120 - 3072}{15})$

Etapa 9.2.3.17.3

Subtraia $3072$ de $5120$ .

$V = π (\frac{2048}{15})$

Etapa 9.2.3.18

Combine $π$ e $\frac{2048}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 2048}{15}$

Etapa 9.2.3.19

Mova $2048$ para a esquerda de $π$ .

$V = \frac{2048 π}{15}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{2048 π}{15}$

Forma decimal:

$V = 428.93211697 \dots$

Etapa 11