Cálculo Exemplos

$y = \frac{3}{x}$ , $x = 7$ , $x = 14$ , $y = 0$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{7}^{14} {(f (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = \frac{3}{x}$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{x}$ .

$V = \frac{3^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$V = \frac{9}{x^{2}}$

Etapa 3

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$V = π (9 \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Mova $9$ para a esquerda de $π$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$V = 9 π \int_{7}^{14} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 4.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{- 2} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$V = 9 π - x^{- 1}]_{7}^{14}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $- x^{- 1}$ em $14$ e em $7$ .

$V = 9 π ((- 14^{- 1}) + 7^{- 1})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + 7^{- 1})$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.3

Para escrever $\frac{1}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 6.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $14$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.2.4.1

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{2}{2}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{7 \cdot 2})$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{14})$

Etapa 6.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 2}{14})$

Etapa 6.2.6

Some $- 1$ e $2$ .

$V = 9 π (\frac{1}{14})$

Etapa 6.2.7

Combine $\frac{1}{14}$ e $9$ .

$V = \frac{9}{14} \cdot π$

Etapa 6.2.8

Combine $\frac{9}{14}$ e $π$ .

$V = \frac{9 π}{14}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{9 π}{14}$

Forma decimal:

$V = 2.01959527 \dots$

Etapa 8