Cálculo Exemplos

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (y)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ em que $f (y) = 2 y$ e $g (y) = \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Aplique a regra do produto a $2 y$ .

$V = 2^{2} y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

Etapa 2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$V = 4 y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

Etapa 2.3

Aplique a regra do produto a $\frac{y^{2}}{2}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{{(y^{2})}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{2 \cdot 2}}{2^{2}}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{2^{2}}$

Etapa 2.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{4}$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{0}^{4} 4 y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Etapa 4

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$V = π (4 \int_{0}^{4} y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{4}}{4} d y)$

Etapa 8

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{4} y^{4} d y))$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{4}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{4})$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Simplifique.

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Etapa 10.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4})$

Etapa 10.1.2

Combine $\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

Etapa 10.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.2.1

Avalie $\frac{y^{3}}{3}$ em $4$ e em $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

Etapa 10.2.2

Avalie $\frac{y^{5}}{5}$ em $4$ e em $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Etapa 10.2.3

Simplifique.

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Etapa 10.2.3.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Etapa 10.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Etapa 10.2.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 10.2.3.3.1

Fatore $3$ de $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Etapa 10.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Etapa 10.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Etapa 10.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Etapa 10.2.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Etapa 10.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} + 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Etapa 10.2.3.5

Some $\frac{64}{3}$ e $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Etapa 10.2.3.6

Combine $4$ e $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{4 \cdot 64}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Etapa 10.2.3.7

Multiplique $4$ por $64$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Etapa 10.2.3.8

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Etapa 10.2.3.9

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}}{4})$

Etapa 10.2.3.10

Cancele o fator comum de $0$ e $5$ .

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Etapa 10.2.3.10.1

Fatore $5$ de $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{4})$

Etapa 10.2.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.3.10.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

Etapa 10.2.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

Etapa 10.2.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}}{4})$

Etapa 10.2.3.10.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - 0}{4})$

Etapa 10.2.3.11

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} + 0}{4})$

Etapa 10.2.3.12

Some $\frac{1024}{5}$ e $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5}}{4})$

Etapa 10.2.3.13

Reescreva $\frac{\frac{1024}{5}}{4}$ como um produto.

$V = π (\frac{256}{3} - (\frac{1024}{5} \cdot \frac{1}{4}))$

Etapa 10.2.3.14

Multiplique $\frac{1024}{5}$ por $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{5 \cdot 4})$

Etapa 10.2.3.15

Multiplique $5$ por $4$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{20})$

Etapa 10.2.3.16

Cancele o fator comum de $1024$ e $20$ .

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Etapa 10.2.3.16.1

Fatore $4$ de $1024$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 (256)}{20})$

Etapa 10.2.3.16.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.3.16.2.1

Fatore $4$ de $20$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

Etapa 10.2.3.16.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

Etapa 10.2.3.16.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{256}{5})$

Etapa 10.2.3.17

Para escrever $\frac{256}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5})$

Etapa 10.2.3.18

Para escrever $- \frac{256}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 10.2.3.19

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.2.3.19.1

Multiplique $\frac{256}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 10.2.3.19.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 10.2.3.19.3

Multiplique $\frac{256}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

Etapa 10.2.3.19.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{15})$

Etapa 10.2.3.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{256 \cdot 5 - 256 \cdot 3}{15})$

Etapa 10.2.3.21

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.3.21.1

Multiplique $256$ por $5$ .

$V = π (\frac{1280 - 256 \cdot 3}{15})$

Etapa 10.2.3.21.2

Multiplique $- 256$ por $3$ .

$V = π (\frac{1280 - 768}{15})$

Etapa 10.2.3.21.3

Subtraia $768$ de $1280$ .

$V = π (\frac{512}{15})$

Etapa 10.2.3.22

Combine $π$ e $\frac{512}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 512}{15}$

Etapa 10.2.3.23

Mova $512$ para a esquerda de $π$ .

$V = \frac{512 π}{15}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{512 π}{15}$

Forma decimal:

$V = 107.23302924 \dots$

Etapa 12