Cálculo Exemplos

$y = x - 1$ , $y = x^{2} - 4 x + 3$ , $y = 3$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x - 1 = x^{2} - 4 x + 3$

Etapa 1.2

Resolva $x - 1 = x^{2} - 4 x + 3$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{2} - 4 x + 3 = x - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Etapa 1.2.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 4 x + 3 - x = - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Etapa 1.2.2.2

Subtraia $x$ de $- 4 x$ .

$x^{2} - 5 x + 3 = - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x^{2} - 5 x + 3 = - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Etapa 1.2.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 5 x + 3 + 1 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Etapa 1.2.4

Some $3$ e $1$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Etapa 1.2.5

Fatore $x^{2} - 5 x + 4$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $4$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 4, - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Etapa 1.2.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x - 1) = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$(x - 4) (x - 1) = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Etapa 1.2.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Etapa 1.2.7

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Etapa 1.2.7.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x = 4 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Etapa 1.2.8

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Etapa 1.2.8.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x = 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Etapa 1.2.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x = 4, 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $4$ por $x$ .

$y = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3 y = 3$

Etapa 1.3.2

Substitua $4$ por $x$ em $y = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 4^{2} - 4 \cdot 4 + 3$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

$y = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$

Etapa 1.3.2.3

Simplifique ${(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = 16 - 4 \cdot 4 + 3$

Etapa 1.3.2.3.1.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = 16 - 16 + 3$

Etapa 1.3.2.3.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.2.1

Subtraia $16$ de $16$ .

$y = 0 + 3$

Etapa 1.3.2.3.2.2

Some $0$ e $3$ .

$y = 3$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3 y = 3$

Etapa 1.4.2

Substitua $1$ por $x$ em $y = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = 1^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Etapa 1.4.2.2

Remova os parênteses.

$y = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Etapa 1.4.2.3

Simplifique ${(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = 1 - 4 \cdot 1 + 3$

Etapa 1.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = 1 - 4 + 3$

Etapa 1.4.2.3.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.3.2.1

Subtraia $4$ de $1$ .

$y = - 3 + 3$

Etapa 1.4.2.3.2.2

Some $- 3$ e $3$ .

$y = 0$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(4, 3)$

$(1, 0)$

$(4, 3)$

$(1, 0)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{4} x - 1 d x - \int_{1}^{4} x^{2} - 4 x + 3 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $1$ e $4$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{1}^{4} x - 1 - (x^{2} - 4 x + 3) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 1 - x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 3$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x - 1 - x^{2} + 4 x - 1 \cdot 3$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x - 1 - x^{2} + 4 x - 3$

$\int_{1}^{4} x - 1 - x^{2} + 4 x - 3 d x$

Etapa 3.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.3.1

Some $x$ e $4 x$ .

$5 x - 1 - x^{2} - 3$

Etapa 3.3.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$5 x - x^{2} - 4$

$\int_{1}^{4} 5 x - x^{2} - 4 d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{4} 5 x d x + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Etapa 3.5

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Etapa 3.10

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Etapa 3.11

Aplique a regra da constante.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Etapa 3.12

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $4$ e em $1$ .

$5 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Etapa 3.12.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $4$ e em $1$ .

$5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Etapa 3.12.3

Avalie $- 4 x$ em $4$ e em $1$ .

$5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$5 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.2

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.2.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$5 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$5 (8 - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.4

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$5 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.5

Combine $8$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.7.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$5 \frac{16 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.7.2

Subtraia $1$ de $16$ .

$5 (\frac{15}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.8

Combine $5$ e $\frac{15}{2}$ .

$\frac{5 \cdot 15}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.9

Multiplique $5$ por $15$ .

$\frac{75}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.10

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{75}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{75}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{75}{2} - \frac{64 - 1}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.13

Subtraia $1$ de $64$ .

$\frac{75}{2} - \frac{63}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.14

Cancele o fator comum de $63$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.14.1

Fatore $3$ de $63$ .

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.14.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.14.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{75}{2} - \frac{21}{1} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.14.2.4

Divida $21$ por $1$ .

$\frac{75}{2} - 1 \cdot 21 + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.15

Multiplique $- 1$ por $21$ .

$\frac{75}{2} - 21 + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.16

Para escrever $- 21$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{2} - 21 \cdot \frac{2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.17

Combine $- 21$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 21 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{75 - 21 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.19

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.19.1

Multiplique $- 21$ por $2$ .

$\frac{75 - 42}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.19.2

Subtraia $42$ de $75$ .

$\frac{33}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.20

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\frac{33}{2} - 16 + 4 \cdot 1$

Etapa 3.12.4.21

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{33}{2} - 16 + 4$

Etapa 3.12.4.22

Some $- 16$ e $4$ .

$\frac{33}{2} - 12$

Etapa 3.12.4.23

Para escrever $- 12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{33}{2} - 12 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.12.4.24

Combine $- 12$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{33}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.12.4.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{33 - 12 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.12.4.26

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.26.1

Multiplique $- 12$ por $2$ .

$\frac{33 - 24}{2}$

Etapa 3.12.4.26.2

Subtraia $24$ de $33$ .

$\frac{9}{2}$

Etapa 4