Cálculo Exemplos

$2 x^{2} + y^{2} = 43$ , $(- 3, 5)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 3$ e $y = 5$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (43)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x + 2 y y'$

Etapa 1.2.4

Reordene os termos.

$2 y y' + 4 x$

Etapa 1.3

Como $43$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $43$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' + 4 x = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Subtraia $4 x$ dos dois lados da equação.

$2 y y' = - 4 x$

Etapa 1.5.2

Divida cada termo em $2 y y' = - 4 x$ por $2 y$ e simplifique.

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Etapa 1.5.2.1

Divida cada termo em $2 y y' = - 4 x$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 1.5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 4 x$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Etapa 1.5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 (y)}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

Etapa 1.5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = - 3$ e $y = 5$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$- \frac{2 (- 3)}{y}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $5$ na expressão.

$- \frac{2 (- 3)}{5}$

Etapa 1.7.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- \frac{- 6}{5}$

Etapa 1.7.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{6}{5}$

Etapa 1.7.5

Multiplique $- - \frac{6}{5}$ .

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Etapa 1.7.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{6}{5})$

Etapa 1.7.5.2

Multiplique $\frac{6}{5}$ por $1$ .

$\frac{6}{5}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{6}{5}$ e um ponto determinado $(- 3, 5)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{6}{5} \cdot (x - (- 3))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 5 = \frac{6}{5} \cdot (x + 3)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{6}{5} \cdot (x + 3)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{6}{5} \cdot (x + 3)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 5 = \frac{6}{5} \cdot (x + 3)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 5 = \frac{6}{5} x + \frac{6}{5} \cdot 3$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{6}{5}$ e $x$ .

$y - 5 = \frac{6 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot 3$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $\frac{6}{5} \cdot 3$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Combine $\frac{6}{5}$ e $3$ .

$y - 5 = \frac{6 x}{5} + \frac{6 \cdot 3}{5}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$y - 5 = \frac{6 x}{5} + \frac{18}{5}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{18}{5} + 5$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{18}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $5$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{18}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{18 + 5 \cdot 5}{5}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{18 + 25}{5}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $18$ e $25$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{43}{5}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{6}{5} x + \frac{43}{5}$

Etapa 3