Cálculo Exemplos

$15 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 289 (x^{2} - y^{2})$ , $(4, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (15 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (289 (x^{2} - y^{2}))$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$15 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$15 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$15 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 1.2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique $2$ por $15$ .

$30 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 1.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$30 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 1.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$30 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$30 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$30 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$30 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$30 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Etapa 1.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(30 x^{2} + 30 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Etapa 1.2.6.2

Reordene os fatores de $(30 x^{2} + 30 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (30 x^{2} + 30 y^{2})$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Como $289$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $289 (x^{2} - y^{2})$ em relação a $x$ é $289 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$289 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Etapa 1.3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$289 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Etapa 1.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$289 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Etapa 1.3.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$289 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$289 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$289 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$289 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$289 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 1.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$289 (2 x - 2 y y')$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$289 (2 x) + 289 (- 2 y y')$

Etapa 1.3.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1

Multiplique $2$ por $289$ .

$578 x + 289 (- 2 y y')$

Etapa 1.3.5.2.2

Multiplique $- 2$ por $289$ .

$578 x - 578 y y'$

Etapa 1.3.5.3

Reordene os termos.

$- 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$(2 x + 2 y y') (30 x^{2} + 30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Simplifique $(2 x + 2 y y') (30 x^{2} + 30 y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (30 x^{2} + 30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(2 x + 2 y y') (30 x^{2} + 30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.3

Expanda $(2 x + 2 y y') (30 x^{2} + 30 y^{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.5.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (30 x^{2} + 30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2} + 30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (30 x^{2}) + 2 x (30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2} + 30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (30 x^{2}) + 2 x (30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 30 x \cdot x^{2} + 2 x (30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.4.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 \cdot 30 (x^{2} x) + 2 x (30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.4.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \cdot 30 (x^{2} x^{1}) + 2 x (30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cdot 30 x^{2 + 1} + 2 x (30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.4.2.3

Some $2$ e $1$ .

$2 \cdot 30 x^{3} + 2 x (30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.4.3

Multiplique $2$ por $30$ .

$60 x^{3} + 2 x (30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.4.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$60 x^{3} + 2 \cdot 30 x y^{2} + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.4.5

Multiplique $2$ por $30$ .

$60 x^{3} + 60 x y^{2} + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.4.6

Multiplique $30$ por $2$ .

$60 x^{3} + 60 x y^{2} + 60 y y' x^{2} + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.4.7

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.4.7.1

Mova $y^{2}$ .

$60 x^{3} + 60 x y^{2} + 60 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 30 = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.4.7.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.4.7.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$60 x^{3} + 60 x y^{2} + 60 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 30 = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.4.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$60 x^{3} + 60 x y^{2} + 60 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 30 = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.4.7.3

Some $2$ e $1$ .

$60 x^{3} + 60 x y^{2} + 60 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 30 = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.1.4.8

Multiplique $30$ por $2$ .

$60 x^{3} + 60 x y^{2} + 60 y y' x^{2} + 60 y^{3} y' = - 578 y y' + 578 x$

Etapa 1.5.2

Some $578 y y'$ aos dois lados da equação.

$60 x^{3} + 60 x y^{2} + 60 y y' x^{2} + 60 y^{3} y' + 578 y y' = 578 x$

Etapa 1.5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Subtraia $60 x^{3}$ dos dois lados da equação.

$60 x y^{2} + 60 y y' x^{2} + 60 y^{3} y' + 578 y y' = 578 x - 60 x^{3}$

Etapa 1.5.3.2

Subtraia $60 x y^{2}$ dos dois lados da equação.

$60 y y' x^{2} + 60 y^{3} y' + 578 y y' = 578 x - 60 x^{3} - 60 x y^{2}$

Etapa 1.5.4

Fatore $2 y y'$ de $60 y y' x^{2} + 60 y^{3} y' + 578 y y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Fatore $2 y y'$ de $60 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (30 x^{2}) + 60 y^{3} y' + 578 y y' = 578 x - 60 x^{3} - 60 x y^{2}$

Etapa 1.5.4.2

Fatore $2 y y'$ de $60 y^{3} y'$ .

$2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) + 578 y y' = 578 x - 60 x^{3} - 60 x y^{2}$

Etapa 1.5.4.3

Fatore $2 y y'$ de $578 y y'$ .

$2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) + 2 y y' \cdot 289 = 578 x - 60 x^{3} - 60 x y^{2}$

Etapa 1.5.4.4

Fatore $2 y y'$ de $2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2})$ .

$2 y y' (30 x^{2} + 30 y^{2}) + 2 y y' \cdot 289 = 578 x - 60 x^{3} - 60 x y^{2}$

Etapa 1.5.4.5

Fatore $2 y y'$ de $2 y y' (30 x^{2} + 30 y^{2}) + 2 y y' \cdot 289$ .

$2 y y' (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289) = 578 x - 60 x^{3} - 60 x y^{2}$

Etapa 1.5.5

Divida cada termo em $2 y y' (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289) = 578 x - 60 x^{3} - 60 x y^{2}$ por $2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1

Divida cada termo em $2 y y' (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289) = 578 x - 60 x^{3} - 60 x y^{2}$ por $2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)$ .

$\frac{2 y y' (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} = \frac{578 x}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x^{3}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.5.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} = \frac{578 x}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x^{3}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.5.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}{30 x^{2} + 30 y^{2} + 289} = \frac{578 x}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x^{3}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.2.3

Cancele o fator comum de $30 x^{2} + 30 y^{2} + 289$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.2.3.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.5.5.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{578 x}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x^{3}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $578$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.1.1.1

Fatore $2$ de $578 x$ .

$y' = \frac{2 (289 x)}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x^{3}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)$ .

$y' = \frac{2 (289 x)}{2 (y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289))} + \frac{- 60 x^{3}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (289 x)}{2 (y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289))} + \frac{- 60 x^{3}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x^{3}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 60$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 60 x^{3}$ .

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)$ .

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 (y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289))} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 (y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289))} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.1.4

Cancele o fator comum de $- 60$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.1.4.1

Fatore $2$ de $- 60 x y^{2}$ .

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{2 (- 30 x y^{2})}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)$ .

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{2 (- 30 x y^{2})}{2 (y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289))}$

Etapa 1.5.5.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{2 (- 30 x y^{2})}{2 (y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289))}$

Etapa 1.5.5.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 30 x y^{2}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.1.5

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.1.5.1

Fatore $y$ de $- 30 x y^{2}$ .

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{y (- 30 x y)}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.1.5.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{y (- 30 x y)}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.1.5.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 30 x y}{30 x^{2} + 30 y^{2} + 289}$

Etapa 1.5.5.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x y}{30 x^{2} + 30 y^{2} + 289}$

Etapa 1.5.5.3.2

Para escrever $- \frac{30 x y}{30 x^{2} + 30 y^{2} + 289}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x y}{30 x^{2} + 30 y^{2} + 289} \cdot \frac{y}{y}$

Etapa 1.5.5.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.5.5.3.3.1

Multiplique $\frac{30 x y}{30 x^{2} + 30 y^{2} + 289}$ por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x y \cdot y}{(30 x^{2} + 30 y^{2} + 289) y}$

Etapa 1.5.5.3.3.2

Reordene os fatores de $(30 x^{2} + 30 y^{2} + 289) y$ .

$y' = - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x y \cdot y}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{289 x - 30 x y \cdot y}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 30 x^{3} + 289 x - 30 x y \cdot y}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.6

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.5.3.6.1

Mova $y$ .

$y' = \frac{- 30 x^{3} + 289 x - 30 x (y \cdot y)}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.6.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y' = \frac{- 30 x^{3} + 289 x - 30 x y^{2}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.7

Fatore $x$ de $- 30 x^{3} + 289 x - 30 x y^{2}$ .

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Etapa 1.5.5.3.7.1

Fatore $x$ de $- 30 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 30 x^{2}) + 289 x - 30 x y^{2}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.7.2

Fatore $x$ de $289 x$ .

$y' = \frac{x (- 30 x^{2}) + x \cdot 289 - 30 x y^{2}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.7.3

Fatore $x$ de $- 30 x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 30 x^{2}) + x \cdot 289 + x (- 30 y^{2})}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.7.4

Fatore $x$ de $x (- 30 x^{2}) + x \cdot 289$ .

$y' = \frac{x (- 30 x^{2} + 289) + x (- 30 y^{2})}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.7.5

Fatore $x$ de $x (- 30 x^{2} + 289) + x (- 30 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 30 x^{2} + 289 - 30 y^{2})}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.8

Fatore $- 1$ de $- 30 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (30 x^{2}) + 289 - 30 y^{2})}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.9

Reescreva $289$ como $- 1 (- 289)$ .

$y' = \frac{x (- (30 x^{2}) - 1 (- 289) - 30 y^{2})}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.10

Fatore $- 1$ de $- (30 x^{2}) - 1 (- 289)$ .

$y' = \frac{x (- (30 x^{2} - 289) - 30 y^{2})}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.11

Fatore $- 1$ de $- 30 y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (30 x^{2} - 289) - (30 y^{2}))}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.12

Fatore $- 1$ de $- (30 x^{2} - 289) - (30 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- (30 x^{2} - 289 + 30 y^{2}))}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.5.5.3.13.1

Reescreva $- (30 x^{2} - 289 + 30 y^{2})$ como $- 1 (30 x^{2} - 289 + 30 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (30 x^{2} - 289 + 30 y^{2}))}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.5.5.3.13.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x (30 x^{2} - 289 + 30 y^{2})}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (30 x^{2} - 289 + 30 y^{2})}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 4$ e $y = 1$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$- \frac{(4) (30 {(4)}^{2} - 289 + 30 y^{2})}{y (30 {(4)}^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $1$ na expressão.

$- \frac{(4) (30 {(4)}^{2} - 289 + 30 {(1)}^{2})}{(1) (30 {(4)}^{2} + 30 {(1)}^{2} + 289)}$

Etapa 1.7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{4 (30 \cdot 16 - 289 + 30 \cdot 1^{2})}{1 (30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289)}$

Etapa 1.7.3.2

Multiplique $30$ por $16$ .

$- \frac{4 (480 - 289 + 30 \cdot 1^{2})}{1 (30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289)}$

Etapa 1.7.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{4 (480 - 289 + 30 \cdot 1)}{1 (30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289)}$

Etapa 1.7.3.4

Multiplique $30$ por $1$ .

$- \frac{4 (480 - 289 + 30)}{1 (30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289)}$

Etapa 1.7.3.5

Subtraia $289$ de $480$ .

$- \frac{4 (191 + 30)}{1 (30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289)}$

Etapa 1.7.3.6

Some $191$ e $30$ .

$- \frac{4 \cdot 221}{1 (30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289)}$

Etapa 1.7.4

Multiplique.

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Etapa 1.7.4.1

Multiplique $30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289$ por $1$ .

$- \frac{4 \cdot 221}{30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289}$

Etapa 1.7.4.2

Multiplique $4$ por $221$ .

$- \frac{884}{30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289}$

Etapa 1.7.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.5.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{884}{30 \cdot 16 + 30 \cdot 1^{2} + 289}$

Etapa 1.7.5.2

Multiplique $30$ por $16$ .

$- \frac{884}{480 + 30 \cdot 1^{2} + 289}$

Etapa 1.7.5.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{884}{480 + 30 \cdot 1 + 289}$

Etapa 1.7.5.4

Multiplique $30$ por $1$ .

$- \frac{884}{480 + 30 + 289}$

Etapa 1.7.5.5

Some $480$ e $30$ .

$- \frac{884}{510 + 289}$

Etapa 1.7.5.6

Some $510$ e $289$ .

$- \frac{884}{799}$

Etapa 1.7.6

Cancele o fator comum de $884$ e $799$ .

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Etapa 1.7.6.1

Fatore $17$ de $884$ .

$- \frac{17 (52)}{799}$

Etapa 1.7.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.7.6.2.1

Fatore $17$ de $799$ .

$- \frac{17 \cdot 52}{17 \cdot 47}$

Etapa 1.7.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{17 \cdot 52}{17 \cdot 47}$

Etapa 1.7.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{52}{47}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{52}{47}$ e um ponto determinado $(4, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{52}{47} \cdot (x - (4))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = - \frac{52}{47} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{52}{47} \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{52}{47} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = - \frac{52}{47} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - \frac{52}{47} x - \frac{52}{47} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{52}{47}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 52}{47} - \frac{52}{47} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- \frac{52}{47} \cdot - 4$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 52}{47} + 4 (\frac{52}{47})$

Etapa 2.3.1.5.2

Combine $4$ e $\frac{52}{47}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 52}{47} + \frac{4 \cdot 52}{47}$

Etapa 2.3.1.5.3

Multiplique $4$ por $52$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 52}{47} + \frac{208}{47}$

Etapa 2.3.1.6

Mova $52$ para a esquerda de $x$ .

$y - 1 = - \frac{52 x}{47} + \frac{208}{47}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{52 x}{47} + \frac{208}{47} + 1$

Etapa 2.3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = - \frac{52 x}{47} + \frac{208}{47} + \frac{47}{47}$

Etapa 2.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{52 x}{47} + \frac{208 + 47}{47}$

Etapa 2.3.2.4

Some $208$ e $47$ .

$y = - \frac{52 x}{47} + \frac{255}{47}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{52}{47} x) + \frac{255}{47}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{52}{47} x + \frac{255}{47}$

Etapa 3