Cálculo Exemplos

$2 y^{2} - \sqrt{x} = 28$ , $(16, 4)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 16$ e $y = 4$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 28$

Etapa 1.2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (28)$

Etapa 1.3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Etapa 1.3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.3.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.3.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.3.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.3.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.3.3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.3.9

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.4

Como $28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 1.6

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.6.1

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ aos dois lados da equação.

$4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.6.2

Divida cada termo em $4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $4 y$ e simplifique.

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Etapa 1.6.2.1

Divida cada termo em $4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Etapa 1.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Etapa 1.6.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Etapa 1.6.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Etapa 1.6.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Etapa 1.6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.6.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 y}$

Etapa 1.6.2.3.2

Combine.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (4 y)}$

Etapa 1.6.2.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.6.2.3.3.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 y}$

Etapa 1.6.2.3.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$y' = \frac{1}{8 x^{\frac{1}{2}} y}$

Etapa 1.6.2.3.3.3

Reordene os fatores em $\frac{1}{8 x^{\frac{1}{2}} y}$ .

$y' = \frac{1}{8 y x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{8 y x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8

Avalie em $x = 16$ e $y = 4$ .

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Etapa 1.8.1

Substitua a variável $x$ por $16$ na expressão.

$\frac{1}{8 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8.2

Substitua a variável $y$ por $4$ na expressão.

$\frac{1}{8 (4) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.8.3.1

Multiplique $8$ por $4$ .

$\frac{1}{32 \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8.3.2

Reescreva $32$ como $2^{5}$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8.3.3

Reescreva $16$ como $2^{4}$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8.3.4

Multiplique os expoentes em ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.8.3.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.8.3.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.8.3.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2}}$

Etapa 1.8.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2^{5 + 2}}$

Etapa 1.8.3.6

Some $5$ e $2$ .

$\frac{1}{2^{7}}$

Etapa 1.8.4

Eleve $2$ à potência de $7$ .

$\frac{1}{128}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{1}{128}$ e um ponto determinado $(16, 4)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{1}{128} \cdot (x - (16))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 4 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{1}{128} \cdot (x - 16)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 4 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 4 = \frac{1}{128} x + \frac{1}{128} \cdot - 16$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{1}{128}$ e $x$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{128} \cdot - 16$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Fatore $16$ de $128$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 (8)} \cdot - 16$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $16$ de $- 16$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{8} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{1}{8}$ e $- 1$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{- 1}{8}$

Etapa 2.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 4 = \frac{x}{128} - \frac{1}{8}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 4$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $4$ e $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 4 \cdot 8}{8}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $4$ por $8$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 32}{8}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 1$ e $32$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{31}{8}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{128} x + \frac{31}{8}$

Etapa 3