Cálculo Exemplos

$y = \frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ , $(0, 8)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 8$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ como ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x) + \cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x) + \cos (x)$ .

$8 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da soma.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.5

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 1.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 1.7

Simplifique.

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Etapa 1.7.1

Combine os termos.

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Etapa 1.7.1.1

Combine $- 8$ e $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 1.7.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 1.7.2

Reordene os fatores de $- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 1.8

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(\sin (0) + \cos (0))}^{2}}$

Etapa 1.9

Simplifique.

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Etapa 1.9.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.9.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + \cos (0))}^{2}}$

Etapa 1.9.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + 1)}^{2}}$

Etapa 1.9.1.3

Some $0$ e $1$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1^{2}}$

Etapa 1.9.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1}$

Etapa 1.9.2

Simplifique os termos.

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Etapa 1.9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.9.2.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- (1 - \sin (0)) \frac{8}{1}$

Etapa 1.9.2.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- (1 - 0) \frac{8}{1}$

Etapa 1.9.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- (1 + 0) \frac{8}{1}$

Etapa 1.9.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.9.2.2.1

Some $1$ e $0$ .

$- 1 \cdot 1 \frac{8}{1}$

Etapa 1.9.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 (\frac{8}{1})$

Etapa 1.9.2.2.3

Divida $8$ por $1$ .

$- 1 \cdot 8$

Etapa 1.9.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 8$ e um ponto determinado $(0, 8)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 8 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 8 = - 8 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$y - 8 = - 8 x$

Etapa 2.3.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$y = - 8 x + 8$

Etapa 3