Cálculo Exemplos

$y = \frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ , $(2, 6)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 6$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(2 x - 5)}^{2}$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{({(2 x - 5)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 x - 5)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Etapa 1.3.3

Multiplique ${(2 x - 5)}^{2}$ por $1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 x - 5$ .

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Etapa 1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 5$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Etapa 1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 5$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 (2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Etapa 1.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Etapa 1.5.2

Fatore $2 x - 5$ de ${(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $2 x - 5$ de ${(2 x - 5)}^{2}$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Etapa 1.5.2.2

Fatore $2 x - 5$ de $- 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Etapa 1.5.2.3

Fatore $2 x - 5$ de $(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Etapa 1.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.6.1

Fatore $2 x - 5$ de ${(2 x - 5)}^{4}$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.6.2

Cancele o fator comum.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.6.3

Reescreva a expressão.

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.11

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + 0)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.12

Simplifique os termos.

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Etapa 1.12.1

Some $2$ e $0$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.12.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 4 x}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.12.3

Subtraia $4 x$ de $2 x$ .

$3 \frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.12.4

Combine $3$ e $\frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.13

Simplifique.

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Etapa 1.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (- 2 x) + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.13.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.13.2.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6 x + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.13.2.2

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$\frac{- 6 x - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.13.3

Fatore $3$ de $- 6 x - 15$ .

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Etapa 1.13.3.1

Fatore $3$ de $- 6 x$ .

$\frac{3 (- 2 x) - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.13.3.2

Fatore $3$ de $- 15$ .

$\frac{3 (- 2 x) + 3 (- 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.13.3.3

Fatore $3$ de $3 (- 2 x) + 3 (- 5)$ .

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.13.4

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.13.5

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.13.6

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.13.7

Reescreva $- (2 x + 5)$ como $- 1 (2 x + 5)$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.13.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 (2 x + 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.14

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$- \frac{3 (2 (2) + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Etapa 1.15

Simplifique.

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Etapa 1.15.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.15.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{3 (4 + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Etapa 1.15.1.2

Some $4$ e $5$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Etapa 1.15.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.15.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(4 - 5)}^{3}}$

Etapa 1.15.2.2

Subtraia $5$ de $4$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(- 1)}^{3}}$

Etapa 1.15.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{- 1}$

Etapa 1.15.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.15.3.1

Multiplique $3$ por $9$ .

$- \frac{27}{- 1}$

Etapa 1.15.3.2

Divida $27$ por $- 1$ .

$- - 27$

Etapa 1.15.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 27$ .

$27$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $27$ e um ponto determinado $(2, 6)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = 27 \cdot (x - (2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $27 \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 6 = 0 + 0 + 27 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 6 = 27 x + 27 \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $27$ por $- 2$ .

$y - 6 = 27 x - 54$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$y = 27 x - 54 + 6$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 54$ e $6$ .

$y = 27 x - 48$

Etapa 3