Cálculo Exemplos

$y = \frac{36}{x^{2} + 2}$ , $(1, 12)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 12$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{36}{x^{2} + 2}$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 2}$ como ${(x^{2} + 2)}^{- 1}$ .

$36 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 2$ .

$36 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$36 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 2$ .

$36 (- {(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$- 36 ({(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 1.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + 0)$

Etapa 1.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x)$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 36$ .

$- 72 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 72 \frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Etapa 1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.4.2.1

Combine $- 72$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 72}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Etapa 1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{72}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Etapa 1.4.2.3

Combine $x$ e $\frac{72}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 72}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.2.4

Mova $72$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{72 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$- \frac{72 (1)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $72$ por $1$ .

$- \frac{72}{{(1^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 1.6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.6.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{72}{{(1 + 2)}^{2}}$

Etapa 1.6.2.2

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{72}{3^{2}}$

Etapa 1.6.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{72}{9}$

Etapa 1.6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.6.3.1

Divida $72$ por $9$ .

$- 1 \cdot 8$

Etapa 1.6.3.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 8$ e um ponto determinado $(1, 12)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (12) = - 8 \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 12 = - 8 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 8 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 12 = 0 + 0 - 8 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 12 = - 8 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 12 = - 8 x - 8 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$y - 12 = - 8 x + 8$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $12$ aos dois lados da equação.

$y = - 8 x + 8 + 12$

Etapa 2.3.2.2

Some $8$ e $12$ .

$y = - 8 x + 20$

Etapa 3