Cálculo Exemplos

$y = \frac{5 x}{x - 3}$ , $(4, 20)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = 20$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 x}{x - 3}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x - 3$ .

$5 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $x - 3$ por $1$ .

$5 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$5 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$5 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$5 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$5 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.6.4.1

Subtraia $3$ de $0$ .

$5 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

Etapa 1.3.6.4.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.5

Combine $- 5$ e $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.6.6.1

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{- 15}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{15}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 4$ .

$- \frac{15}{{((4) - 3)}^{2}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.1.1

Subtraia $3$ de $4$ .

$- \frac{15}{1^{2}}$

Etapa 1.5.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{15}{1}$

Etapa 1.5.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.5.2.1

Divida $15$ por $1$ .

$- 1 \cdot 15$

Etapa 1.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $15$ .

$- 15$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 15$ e um ponto determinado $(4, 20)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (20) = - 15 \cdot (x - (4))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 20 = - 15 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 15 \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 20 = 0 + 0 - 15 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 20 = - 15 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 20 = - 15 x - 15 \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $- 15$ por $- 4$ .

$y - 20 = - 15 x + 60$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $20$ aos dois lados da equação.

$y = - 15 x + 60 + 20$

Etapa 2.3.2.2

Some $60$ e $20$ .

$y = - 15 x + 80$

Etapa 3