Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ , $(1, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x + 1$ e $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $x + 2$ .

$\frac{2 \cdot (x + 2) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.9

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.10.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 x + 4 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Combine os termos opostos em $2 x + 4 - 2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 + 4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2.2

Some $0$ e $4$ .

$\frac{4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.3

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$\frac{3}{{((1) + 2)}^{2}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3}{3^{2}}$

Etapa 1.5.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{3}{9}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{9}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Etapa 1.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{1}{3}$ e um ponto determinado $(1, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{1}{3} \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{1}{3} \cdot (x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 1 = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 1$

Etapa 2.3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Etapa 2.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 3}{3}$

Etapa 2.3.2.4

Some $- 1$ e $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$

Etapa 3