Cálculo Exemplos

$4 x y^{3} + 5 x y = 36$ , $(4, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (4 x y^{3} + 5 x y) = \frac{d}{d x} (36)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x y^{3} + 5 x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x y^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{3}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Etapa 1.2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Etapa 1.2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Etapa 1.2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$4 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Etapa 1.2.2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Etapa 1.2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Etapa 1.2.2.6

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$4 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Etapa 1.2.2.7

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x y]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x y$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 1.2.3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y)$

Etapa 1.2.4

Simplifique.

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Etapa 1.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y' + y)$

Etapa 1.2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y') + 5 y$

Etapa 1.2.4.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x y^{2} y' + 4 y^{3} + 5 x y' + 5 y$

Etapa 1.2.4.4

Reordene os termos.

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y$

Etapa 1.3

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.5.1.1

Subtraia $4 y^{3}$ dos dois lados da equação.

$12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = - 4 y^{3}$

Etapa 1.5.1.2

Subtraia $5 y$ dos dois lados da equação.

$12 y^{2} x y' + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

Etapa 1.5.2

Fatore $x y'$ de $12 y^{2} x y' + 5 x y'$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $x y'$ de $12 y^{2} x y'$ .

$x y' (12 y^{2}) + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

Etapa 1.5.2.2

Fatore $x y'$ de $5 x y'$ .

$x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5 = - 4 y^{3} - 5 y$

Etapa 1.5.2.3

Fatore $x y'$ de $x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5$ .

$x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$

Etapa 1.5.3

Divida cada termo em $x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ por $x (12 y^{2} + 5)$ e simplifique.

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Etapa 1.5.3.1

Divida cada termo em $x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ por $x (12 y^{2} + 5)$ .

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $12 y^{2} + 5$ .

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Etapa 1.5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Etapa 1.5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Etapa 1.5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 4$ e $y = 1$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$- \frac{4 y^{3}}{(4) (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{(4) (12 y^{2} + 5)}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $1$ na expressão.

$- \frac{4 {(1)}^{3}}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)} - \frac{5 (1)}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Etapa 1.7.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.7.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4 {(1)}^{3} - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Etapa 1.7.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{- 4 \cdot 1 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Etapa 1.7.3.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{- 4 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Etapa 1.7.3.2.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{- 4 - 5}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Etapa 1.7.3.3

Subtraia $5$ de $- 4$ .

$\frac{- 9}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Etapa 1.7.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{- 9}{4 (12 \cdot 1 + 5)}$

Etapa 1.7.4.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$\frac{- 9}{4 (12 + 5)}$

Etapa 1.7.4.3

Some $12$ e $5$ .

$\frac{- 9}{4 \cdot 17}$

Etapa 1.7.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.5.1

Multiplique $4$ por $17$ .

$\frac{- 9}{68}$

Etapa 1.7.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9}{68}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{9}{68}$ e um ponto determinado $(4, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{9}{68} \cdot (x - (4))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - \frac{9}{68} x - \frac{9}{68} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.2.2

Combine $x$ e $\frac{9}{68}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} - \frac{9}{68} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.2.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.1.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{9}{68}$ para o numerador.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{68} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.2.3.2

Fatore $4$ de $68$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 (17)} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.2.3.3

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.2.3.4

Cancele o fator comum.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.2.3.5

Reescreva a expressão.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{17} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.2.4

Combine $\frac{- 9}{17}$ e $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9 \cdot - 1}{17}$

Etapa 2.3.1.2.5

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{9}{17}$

Etapa 2.3.1.3

Mova $9$ para a esquerda de $x$ .

$y - 1 = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + 1$

Etapa 2.3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + \frac{17}{17}$

Etapa 2.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9 + 17}{17}$

Etapa 2.3.2.4

Some $9$ e $17$ .

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{26}{17}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{9}{68} x) + \frac{26}{17}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{9}{68} x + \frac{26}{17}$

Etapa 3