Cálculo Exemplos

$x^{3} + y^{3} = 65$ , $(4, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (65)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

Diferencie.

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Etapa 1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Etapa 1.3

Como $65$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $65$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Etapa 1.5.2

Divida cada termo em $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ por $3 y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 1.5.2.1

Divida cada termo em $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ por $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Etapa 1.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Etapa 1.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 1.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Etapa 1.5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Etapa 1.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 1.5.2.3.1.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

Etapa 1.5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.3.1.2.1

Fatore $3$ de $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2})}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

Etapa 1.5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 4$ e $y = 1$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$- \frac{{(4)}^{2}}{y^{2}}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $1$ na expressão.

$- \frac{{(4)}^{2}}{{(1)}^{2}}$

Etapa 1.7.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{16}{1^{2}}$

Etapa 1.7.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{16}{1}$

Etapa 1.7.5

Divida $16$ por $1$ .

$- 1 \cdot 16$

Etapa 1.7.6

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$- 16$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 16$ e um ponto determinado $(4, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 16 \cdot (x - (4))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = - 16 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 16 \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 - 16 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = - 16 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - 16 x - 16 \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $- 16$ por $- 4$ .

$y - 1 = - 16 x + 64$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - 16 x + 64 + 1$

Etapa 2.3.2.2

Some $64$ e $1$ .

$y = - 16 x + 65$

Etapa 3