Cálculo Exemplos

$\sin (y) = 5 x^{4} - 5$ , $(1, π)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = π$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\sin (y)) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - 5)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (y) y'$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Etapa 1.3.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.3.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Etapa 1.3.3.2

Some $20 x^{3}$ e $0$ .

$20 x^{3}$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$

Etapa 1.5

Divida cada termo em $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ por $\cos (y)$ e simplifique.

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Etapa 1.5.1

Divida cada termo em $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ por $\cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.2.1

Cancele o fator comum de $\cos (y)$ .

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Etapa 1.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Etapa 1.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 1$ e $y = π$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (y)}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $π$ na expressão.

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (π)}$

Etapa 1.7.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{20 \cdot 1}{\cos (π)}$

Etapa 1.7.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{20 \cdot 1}{- \cos (0)}$

Etapa 1.7.4.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{20 \cdot 1}{- 1 \cdot 1}$

Etapa 1.7.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{20 \cdot 1}{- 1}$

Etapa 1.7.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.5.1

Multiplique $20$ por $1$ .

$\frac{20}{- 1}$

Etapa 1.7.5.2

Divida $20$ por $- 1$ .

$- 20$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 20$ e um ponto determinado $(1, π)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (π) = - 20 \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 20 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - π = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - π = - 20 x - 20 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $- 20$ por $- 1$ .

$y - π = - 20 x + 20$

Etapa 2.3.2

Some $π$ aos dois lados da equação.

$y = - 20 x + 20 + π$

Etapa 3