Cálculo Exemplos

$x^{2} y^{2} = 16$ , $(- 1, - 4)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 1$ e $y = - 4$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Etapa 1.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Etapa 1.3

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Subtraia $2 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$

Etapa 1.5.2

Divida cada termo em $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ por $2 x^{2} y$ e simplifique.

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Etapa 1.5.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ por $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Etapa 1.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Etapa 1.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Etapa 1.5.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Etapa 1.5.2.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.5.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Etapa 1.5.2.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Etapa 1.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 1.5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y}$

Etapa 1.5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y}$

Etapa 1.5.2.3.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

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Etapa 1.5.2.3.2.1

Fatore $y$ de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y}$

Etapa 1.5.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.3.2.2.1

Fatore $y$ de $x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Etapa 1.5.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Etapa 1.5.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}}$

Etapa 1.5.2.3.3

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 1.5.2.3.3.1

Fatore $x$ de $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}}$

Etapa 1.5.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.3.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Etapa 1.5.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Etapa 1.5.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y}{x}$

Etapa 1.5.2.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = - 1$ e $y = - 4$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$- \frac{y}{- 1}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $- 4$ na expressão.

$- \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.7.3

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$- 1 \cdot 4$

Etapa 1.7.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 4$ e um ponto determinado $(- 1, - 4)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 4) = - 4 \cdot (x - (- 1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 4 = - 4 \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 4 \cdot (x + 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + 4 = 0 + 0 - 4 \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 4 = - 4 \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 4 = - 4 x - 4 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y + 4 = - 4 x - 4$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$y = - 4 x - 4 - 4$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $4$ de $- 4$ .

$y = - 4 x - 8$

Etapa 3