Cálculo Exemplos

$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$ , $(1, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Reescreva o lado esquerdo com expoentes racionais.

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Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$

Etapa 1.1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{y^{4}}$ como $y^{\frac{4}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 2$

Etapa 1.2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 1.3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Etapa 1.3.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.3.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.3.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.3.2.5.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.3.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

Etapa 1.3.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Etapa 1.3.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Etapa 1.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Etapa 1.3.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

Etapa 1.3.3.6.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

Etapa 1.3.3.7

Combine $\frac{4}{3}$ e $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

Etapa 1.3.3.8

Combine $\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ e $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Etapa 1.3.4

Simplifique.

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Etapa 1.3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Etapa 1.3.4.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Etapa 1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Etapa 1.6

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.6.1

Reordene os fatores em $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Etapa 1.6.2

Subtraia $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.6.3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.6.4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 1.6.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.6.4.1.1

Simplifique $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

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Etapa 1.6.4.1.1.1

Combine.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.6.4.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.6.4.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.6.4.1.1.4

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.6.4.1.1.5

Divida $y' y^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.6.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.6.4.2.1

Simplifique $\frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

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Etapa 1.6.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.6.4.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ para o numerador.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.6.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.6.4.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.6.4.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{- 1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.6.4.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.6.5

Divida cada termo em $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ por $y^{\frac{1}{3}}$ e simplifique.

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Etapa 1.6.5.1

Divida cada termo em $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ por $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.6.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.6.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.6.5.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.6.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.6.5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.6.5.3.2

Multiplique $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{1}{y^{\frac{1}{3}} (4 x^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 1.6.5.3.3

Mova $4$ para a esquerda de $y^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.8

Avalie em $x = 1$ e $y = 1$ .

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Etapa 1.8.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$- \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.8.2

Substitua a variável $y$ por $1$ na expressão.

$- \frac{1}{4 {(1)}^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.8.3

Multiplique ${(1)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.8.3.1

Mova ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{4 ({(1)}^{\frac{2}{3}} {(1)}^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 1.8.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Etapa 1.8.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Etapa 1.8.3.4

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 1.8.3.5

Divida $3$ por $3$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{1}}$

Etapa 1.8.4

Simplifique $4 \cdot 1^{1}$ .

$- \frac{1}{4}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{1}{4}$ e um ponto determinado $(1, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{1}{4}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + 1$

Etapa 2.3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Etapa 2.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1 + 4}{4}$

Etapa 2.3.2.4

Some $1$ e $4$ .

$y = - \frac{x}{4} + \frac{5}{4}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{5}{4}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$

Etapa 3