Cálculo Exemplos

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

Etapa 1

Avalie o limite de ${(1 + h)}^{4} - 1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

Etapa 2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva ${(1 + h)}^{4}$ como ${({(1 + h)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1}{h}$

Etapa 2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1^{2}}{h}$

Etapa 2.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = {(1 + h)}^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{({(1 + h)}^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reescreva ${(1 + h)}^{2}$ como $(1 + h) (1 + h)$ .

$\frac{((1 + h) (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Etapa 2.1.4.2

Expanda $(1 + h) (1 + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(1 (1 + h) + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Etapa 2.1.4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Etapa 2.1.4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Etapa 2.1.4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.4.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{(1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Etapa 2.1.4.3.1.2

Multiplique $h$ por $1$ .

$\frac{(1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Etapa 2.1.4.3.1.3

Multiplique $h$ por $1$ .

$\frac{(1 + h + h + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Etapa 2.1.4.3.1.4

Multiplique $h$ por $h$ .

$\frac{(1 + h + h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Etapa 2.1.4.3.2

Some $h$ e $h$ .

$\frac{(1 + 2 h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Etapa 2.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(2 h + h^{2} + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Etapa 2.1.4.5

Reordene os termos.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Etapa 2.1.4.6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1^{2})}{h}$

Etapa 2.1.4.7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1 + h$ e $b = 1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((1 + h + 1) (1 + h - 1))}{h}$

Etapa 2.1.4.8

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.8.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (1 + h - 1))}{h}$

Etapa 2.1.4.8.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (h + 0))}{h}$

Etapa 2.1.4.8.3

Some $h$ e $0$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) h)}{h}$

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

Etapa 2.2.2

Divida $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ por $1$ .

$(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$

Etapa 2.3

Expanda $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$h^{2} h + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Etapa 2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $h^{2}$ por $h$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.1.1

Multiplique $h^{2}$ por $h$ .

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Etapa 2.4.1.1.1

Eleve $h$ à potência de $1$ .

$h^{2} h^{1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Etapa 2.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$h^{2 + 1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Etapa 2.4.1.2

Some $2$ e $1$ .

$h^{3} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Etapa 2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $h^{2}$ .

$h^{3} + 2 \cdot h^{2} + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Etapa 2.4.3

Multiplique $h$ por $h$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.3.1

Mova $h$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 (h \cdot h) + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Etapa 2.4.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 2 \cdot 2$

Etapa 2.4.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

Etapa 2.5

Some $2 h^{2}$ e $2 h^{2}$ .

$h^{3} + 4 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

Etapa 2.6

Some $4 h$ e $2 h$ .

$h^{3} + 4 h^{2} + 6 h + 4$