Cálculo Exemplos

$x^{3} - 7 = 0$ , $a = 2$

Etapa 1

Encontre a derivada de $f (x) = x^{3} - 7$ para uso no método de Newton.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.3

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 1.4

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 2

Estabeleça a fórmula para encontrar a aproximação de $x_{2}$ .

$x_{2} = x_{1} - \frac{f (x_{1})}{f' (x_{1})}$

Etapa 3

Substitua o valor de $x_{1}$ na aproximação seguinte do método de Newton.

$x_{2} = 2 - \frac{{(2)}^{3} - 7}{3 {(2)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique o lado direito da equação para encontrar $x_{2}$ .

$x_{2} = 1.91\overline{6}$

Etapa 5

Estabeleça a fórmula para encontrar a aproximação de $x_{3}$ .

$x_{3} = x_{2} - \frac{f (x_{2})}{f' (x_{2})}$

Etapa 6

Substitua o valor de $x_{2}$ na aproximação seguinte do método de Newton.

$x_{3} = 1.91\overline{6} - \frac{{(1.91\overline{6})}^{3} - 7}{3 {(1.91\overline{6})}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique o lado direito da equação para encontrar $x_{3}$ .

$x_{3} = 1.91293845$

Etapa 8

Estabeleça a fórmula para encontrar a aproximação de $x_{4}$ .

$x_{4} = x_{3} - \frac{f (x_{3})}{f' (x_{3})}$

Etapa 9

Substitua o valor de $x_{3}$ na aproximação seguinte do método de Newton.

$x_{4} = 1.91293845 - \frac{{(1.91293845)}^{3} - 7}{3 {(1.91293845)}^{2}}$

Etapa 10

Simplifique o lado direito da equação para encontrar $x_{4}$ .

$x_{4} = 1.91293118$

Etapa 11

Estabeleça a fórmula para encontrar a aproximação de $x_{5}$ .

$x_{5} = x_{4} - \frac{f (x_{4})}{f' (x_{4})}$

Etapa 12

Substitua o valor de $x_{4}$ na aproximação seguinte do método de Newton.

$x_{5} = 1.91293118 - \frac{{(1.91293118)}^{3} - 7}{3 {(1.91293118)}^{2}}$

Etapa 13

Simplifique o lado direito da equação para encontrar $x_{5}$ .

$x_{5} = 1.91293118$

Etapa 14

Estabeleça a fórmula para encontrar a aproximação de $x_{6}$ .

$x_{6} = x_{5} - \frac{f (x_{5})}{f' (x_{5})}$

Etapa 15

Substitua o valor de $x_{5}$ na aproximação seguinte do método de Newton.

$x_{6} = 1.91293118 - \frac{{(1.91293118)}^{3} - 7}{3 {(1.91293118)}^{2}}$

Etapa 16

Simplifique o lado direito da equação para encontrar $x_{6}$ .

$x_{6} = 1.91293118$

Etapa 17

Como as aproximações de $6 t h$ e $5 t h$ são iguais a $6$ casas decimais, $1.91293118$ é a aproximação da raiz.

$1.91293118$