Cálculo Exemplos

$y = \sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ , $(0, 0)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $7 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Etapa 1.2.1.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Etapa 1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $7 x$ .

$\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Etapa 1.2.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (7 x) (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$\cos (7 x) \cdot 7 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Etapa 1.2.5

Mova $7$ para a esquerda de $\cos (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (7 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Etapa 1.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 \cos (7 x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $7 x$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [7 x])$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\sin (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\cos (u_{3})$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [7 x])$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $7 x$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Etapa 1.3.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \cdot 1))$

Etapa 1.3.5

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \cdot 7)$

Etapa 1.3.6

Mova $7$ para a esquerda de $\cos (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (7 \cdot \cos (7 x))$

Etapa 1.3.7

Multiplique $7$ por $2$ .

$7 \cos (7 x) + 14 \sin (7 x) \cos (7 x)$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$14 \cos (7 x) \sin (7 x) + 7 \cos (7 x)$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$14 \cos (7 (0)) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$14 \cos (0) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Etapa 1.6.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$14 \cdot 1 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Etapa 1.6.1.3

Multiplique $14$ por $1$ .

$14 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Etapa 1.6.1.4

Multiplique $7$ por $0$ .

$14 \sin (0) + 7 \cos (7 (0))$

Etapa 1.6.1.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$14 \cdot 0 + 7 \cos (7 (0))$

Etapa 1.6.1.6

Multiplique $14$ por $0$ .

$0 + 7 \cos (7 (0))$

Etapa 1.6.1.7

Multiplique $7$ por $0$ .

$0 + 7 \cos (0)$

Etapa 1.6.1.8

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Etapa 1.6.1.9

Multiplique $7$ por $1$ .

$0 + 7$

Etapa 1.6.2

Some $0$ e $7$ .

$7$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a inclinação $7$ e um ponto determinado $(0, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 7 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = 7 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = 7 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3.2

Some $x$ e $0$ .

$y = 7 x$

Etapa 3