Cálculo Exemplos

$y = 2 x^{3} - 3 x$ , $(1, - 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = - 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} - 3 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$6 x^{2} - 3$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$6 {(1)}^{2} - 3$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$6 \cdot 1 - 3$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 - 3$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3$ de $6$ .

$3$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $3$ e um ponto determinado $(1, - 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 3 \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 1 = 3 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $3 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 1 = 3 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 1 = 3 x + 3 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y + 1 = 3 x - 3$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = 3 x - 3 - 1$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $1$ de $- 3$ .

$y = 3 x - 4$

Etapa 3