Cálculo Exemplos

$y = 4 x + 5 e^{x}$ , $(0, 5)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 5$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 5 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 e^{x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 + 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 + 5 e^{x}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$5 e^{x} + 4$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$5 e^{0} + 4$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$5 \cdot 1 + 4$

Etapa 1.6.1.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + 4$

Etapa 1.6.2

Some $5$ e $4$ .

$9$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $9$ e um ponto determinado $(0, 5)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = 9 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 5 = 9 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$y - 5 = 9 x$

Etapa 2.3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$y = 9 x + 5$

Etapa 3