Cálculo Exemplos

$2 \ln (\sec (x))$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Em qualquer $y = \sec (x)$ , as assíntotas verticais ocorrem em $x = \frac{π}{2} + n π$ , em que $n$ é um número inteiro. Use o período básico de $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , para encontrar as assíntotas verticais de $y = \ln (\sec^{2} (x))$ . Defina a parte interna da função secante, $b x + c$ , para $y = a \sec (b x + c) + d$ igual a $- \frac{π}{2}$ para encontrar onde a assíntota vertical ocorre para $y = \ln (\sec^{2} (x))$ .

$\sec^{2} (x) = - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sec (x) = \pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$

Etapa 1.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{π}{2}}$

Etapa 1.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\sec (x) = \pm i \sqrt{\frac{π}{2}}$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva $\sqrt{\frac{π}{2}}$ como $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

Etapa 1.2.2.4

Multiplique $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i (\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 1.2.2.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 1.2.2.5.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 1.2.2.5.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 1.2.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 1.2.2.5.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.2.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.2.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.2.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.2.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 1.2.2.5.6.5

Avalie o expoente.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Etapa 1.2.2.7

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Etapa 1.2.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Etapa 1.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Etapa 1.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Etapa 1.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}, - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Etapa 1.2.4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Etapa 1.2.5

Resolva $x$ em $\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

Etapa 1.2.5.2

The inverse secant of $arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

Indefinido

Etapa 1.2.6

Resolva $x$ em $\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

Etapa 1.2.6.2

The inverse secant of $arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

Indefinido

Etapa 1.2.7

Liste todas as soluções.

Nenhuma solução

Etapa 1.3

Defina a parte interna da função secante $\sec^{2} (x)$ como igual a $\frac{3 π}{2}$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sec (x) = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

Etapa 1.4.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 1.4.2.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 1.4.2.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 1.4.2.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 1.4.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.4.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 1.4.2.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.4.2.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.4.2.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.4.2.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.4.2.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 1.4.2.3.6.5

Avalie o expoente.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.4.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

Etapa 1.4.2.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Etapa 1.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Etapa 1.4.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Etapa 1.4.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Etapa 1.4.4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Etapa 1.4.5

Resolva $x$ em $\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$

Etapa 1.4.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.2.1

Avalie $arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$ .

$x = 1.09205895$

Etapa 1.4.5.3

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

Etapa 1.4.5.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.4.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

Etapa 1.4.5.4.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 1.09205895$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.09205895$

Etapa 1.4.5.4.2.2

Subtraia $1.09205895$ de $6.2831853$ .

$x = 5.19112635$

Etapa 1.4.5.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.4.5.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.4.5.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.4.5.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.4.5.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.4.6

Resolva $x$ em $\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$

Etapa 1.4.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.2.1

Avalie $arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$ .

$x = 2.0495337$

Etapa 1.4.6.3

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

Etapa 1.4.6.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.4.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

Etapa 1.4.6.4.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 2.0495337$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.0495337$

Etapa 1.4.6.4.2.2

Subtraia $2.0495337$ de $6.2831853$ .

$x = 4.2336516$

Etapa 1.4.6.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.4.6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.4.6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.4.6.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.4.6.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.4.7

Liste todas as soluções.

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.4.8

Consolide as soluções.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.8.1

Consolide $1.09205895 + 2 π n$ e $4.2336516 + 2 π n$ em $1.09205895 + π n$ .

$x = 1.09205895 + π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.4.8.2

Consolide $5.19112635 + 2 π n$ e $2.0495337 + 2 π n$ em $2.0495337 + π n$ .

$x = 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.5

O período básico para $y = \ln (\sec^{2} (x))$ ocorrerá em $(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$ , em que e $1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ são assíntotas verticais.

$(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$

Etapa 1.6

Encontre o período $\frac{2 π}{| b |}$ para descobrir onde existem assíntotas verticais. Elas ocorrem a cada meio período.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.6.2

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.7

As assíntotas verticais de $y = \ln (\sec^{2} (x))$ ocorrem em , $1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ e a cada $π n$ , em que $n$ é um número inteiro. Isso é metade do período.

$π n$

Etapa 1.8

Existem somente assíntotas verticais para funções secantes e cossecantes.

Assíntotas verticais: $x = π n$ para qualquer número inteiro $n$

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = π n$ para qualquer número inteiro $n$

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 2 \ln (\sec (1))$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Avalie $\sec (1)$ .

$f (1) = 2 \ln (1.85081571)$

Etapa 2.2.2

Simplifique $2 \ln (1.85081571)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (1) = \ln ({1.85081571}^{2})$

Etapa 2.2.3

Eleve $1.85081571$ à potência de $2$ .

$f (1) = \ln (3.42551882)$

Etapa 2.2.4

A resposta final é $\ln (3.42551882)$ .

$\ln (3.42551882)$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = 2 \ln (\sec (5))$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Avalie $\sec (5)$ .

$f (5) = 2 \ln (3.52532008)$

Etapa 3.2.2

Simplifique $2 \ln (3.52532008)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (5) = \ln ({3.52532008}^{2})$

Etapa 3.2.3

Eleve $3.52532008$ à potência de $2$ .

$f (5) = \ln (12.4278817)$

Etapa 3.2.4

A resposta final é $\ln (12.4278817)$ .

$\ln (12.4278817)$

Etapa 4

Encontre o ponto em $x = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = 2 \ln (\sec (6))$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Avalie $\sec (6)$ .

$f (6) = 2 \ln (1.04148192)$

Etapa 4.2.2

Simplifique $2 \ln (1.04148192)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (6) = \ln ({1.04148192}^{2})$

Etapa 4.2.3

Eleve $1.04148192$ à potência de $2$ .

$f (6) = \ln (1.0846846)$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $\ln (1.0846846)$ .

$\ln (1.0846846)$

Etapa 5

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ e os pontos $(1, 1.23125294), (5, 2.51994247), (6, 0.08128925)$ .

Assíntota vertical: $x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.231 \\ 5 & 2.52 \\ 6 & 0.081 \end{array}$

Etapa 6