Cálculo Exemplos

$k \sqrt{x} - \ln (x)$

Etapa 1

Resolva $y$ .

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Etapa 1.1

Some $\ln (x)$ aos dois lados da equação.

$y \sqrt{x} = \ln (x)$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $y \sqrt{x} = \ln (x)$ por $\sqrt{x}$ e simplifique.

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Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $y \sqrt{x} = \ln (x)$ por $\sqrt{x}$ .

$\frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{x}$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Etapa 1.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Etapa 1.2.3.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.3.2.1

Multiplique $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Etapa 1.2.3.2.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Etapa 1.2.3.2.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Etapa 1.2.3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 1.2.3.2.6

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 1.2.3.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.3.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{1}}$

Etapa 1.2.3.2.6.5

Simplifique.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$

Etapa 2

Encontre o domínio para $k \sqrt{x} - \ln (x) = 0$ de modo que uma lista de valores $x$ possa ser escolhida para encontrar uma lista de pontos, o que ajudará a representar graficamente o radical.

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Etapa 2.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x > 0$

Etapa 2.2

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 2.3

Defina o denominador em $\frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 2.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Etapa 3

Para encontrar o ponto final da expressão com radicais, substitua o valor $x$ $0$ , que é o menor valor no domínio, em $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{\ln (0) \sqrt{0}}{0}$

Etapa 3.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

$f (0) = Undefined$

Indefinido

Etapa 4

O ponto final da expressão com radicais é $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Etapa 5

Selecione alguns valores de $x$ a partir do domínio. É mais útil selecionar os valores de forma que fiquem próximos do valor $x$ do ponto final da expressão com radicais.

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Etapa 5.1

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, 0)$ .

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Etapa 5.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{\ln (1) \sqrt{1}}{1}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.1.2.1

Divida $\ln (1) \sqrt{1}$ por $1$ .

$f (1) = \ln (1) \sqrt{1}$

Etapa 5.1.2.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (1) = 0 \sqrt{1}$

Etapa 5.1.2.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (1) = 0 \cdot 1$

Etapa 5.1.2.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$f (1) = 0$

Etapa 5.1.2.5

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 5.2

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ . Nesse caso, o ponto é $(2, \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2})$ .

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Etapa 5.2.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $\frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3

A raiz quadrada pode ser representada graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.49)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.49 \end{array}$

Etapa 6