Cálculo Exemplos

$\ln (x^{2} + 3 x + 7)$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Defina o argumento do logaritmo como igual a zero.

$x^{2} + 3 x + 7 = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 3$ e $c = 7$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 7)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.1.3

Subtraia $28$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.1.4

Reescreva $- 19$ como $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (19)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.1.3

Subtraia $28$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.1.4

Reescreva $- 19$ como $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (19)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Etapa 1.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{19}}{2}$

Etapa 1.2.4.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{19}}{2}$

Etapa 1.2.4.5

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{19})}{2}$

Etapa 1.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (- i \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{19})}{2}$

Etapa 1.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$

Etapa 1.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.3

Subtraia $28$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.4

Reescreva $- 19$ como $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (19)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Etapa 1.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{19}}{2}$

Etapa 1.2.5.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{19}}{2}$

Etapa 1.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{19})}{2}$

Etapa 1.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (i \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{19})}{2}$

Etapa 1.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Etapa 1.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Etapa 1.3

A assíntota vertical ocorre em $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ .

Assíntota vertical: $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 3 (1) + 7)$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \ln (1 + 3 (1) + 7)$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (1) = \ln (1 + 3 + 7)$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Some $1$ e $3$ .

$f (1) = \ln (4 + 7)$

Etapa 2.2.2.2

Some $4$ e $7$ .

$f (1) = \ln (11)$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $\ln (11)$ .

$\ln (11)$

Etapa 2.3

Converta $\ln (11)$ em decimal.

$y = 2.39789527$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \ln ({(2)}^{2} + 3 (2) + 7)$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = \ln (4 + 3 (2) + 7)$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (2) = \ln (4 + 6 + 7)$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Some $4$ e $6$ .

$f (2) = \ln (10 + 7)$

Etapa 3.2.2.2

Some $10$ e $7$ .

$f (2) = \ln (17)$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $\ln (17)$ .

$\ln (17)$

Etapa 3.3

Converta $\ln (17)$ em decimal.

$y = 2.83321334$

Etapa 4

Encontre o ponto em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \ln ({(3)}^{2} + 3 (3) + 7)$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = \ln (9 + 3 (3) + 7)$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (3) = \ln (9 + 9 + 7)$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Some $9$ e $9$ .

$f (3) = \ln (18 + 7)$

Etapa 4.2.2.2

Some $18$ e $7$ .

$f (3) = \ln (25)$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $\ln (25)$ .

$\ln (25)$

Etapa 4.3

Converta $\ln (25)$ em decimal.

$y = 3.21887582$

Etapa 5

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ e os pontos $(1, 2.39789527), (2, 2.83321334), (3, 3.21887582)$ .

Assíntota vertical: $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.398 \\ 2 & 2.833 \\ 3 & 3.219 \end{array}$

Etapa 6