Cálculo Exemplos

$\ln (\sqrt{x + 1})$

Etapa 1

Encontre o domínio para $y = \ln (\sqrt{x + 1})$ de modo que uma lista de valores $x$ possa ser escolhida para encontrar uma lista de pontos, o que ajudará a representar graficamente o radical.

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Etapa 1.1

Defina o argumento em $\ln (\sqrt{x + 1})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\sqrt{x + 1} > 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{x + 1}}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 1.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Simplifique ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x + 1)}^{1} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Simplifique.

$x + 1 > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x + 1 > 0$

Etapa 1.2.3

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$x > - 1$

Etapa 1.2.4

Encontre o domínio de $\sqrt{x + 1}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina o radicando em $\sqrt{x + 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 1 \geq 0$

Etapa 1.2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 1$

Etapa 1.2.4.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 1, \infty)$

Etapa 1.2.5

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x > - 1$

Etapa 1.3

Defina o radicando em $\sqrt{x + 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 1 \geq 0$

Etapa 1.4

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 1$

Etapa 1.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- 1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > - 1}$

Notação de intervalo:

$(- 1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > - 1}$

Etapa 2

Para encontrar o ponto final da expressão com radicais, substitua o valor $x$ $- 1$ , que é o menor valor no domínio, em $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \ln (\sqrt{(- 1) + 1})$

Etapa 2.2

Some $- 1$ e $1$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0})$

Etapa 2.3

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Etapa 2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 1) = \ln (0)$

Etapa 2.5

O logaritmo natural de zero é indefinido.

$f (- 1) = Undefined$

Indefinido

Etapa 3

O ponto final da expressão com radicais é $(- 1, Undefined)$ .

$(- 1, Undefined)$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ a partir do domínio. É mais útil selecionar os valores de forma que fiquem próximos do valor $x$ do ponto final da expressão com radicais.

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Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $0$ em $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ . Nesse caso, o ponto é $(0, 0)$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \ln (\sqrt{(0) + 1})$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{1})$

Etapa 4.1.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

Etapa 4.1.2.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.1.2.4

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ . Nesse caso, o ponto é $(1, \ln (\sqrt{2}))$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \ln (\sqrt{(1) + 1})$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.2.1

Some $1$ e $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2})$

Etapa 4.2.2.2

A resposta final é $\ln (\sqrt{2})$ .

$y = \ln (\sqrt{2})$

Etapa 4.3

A raiz quadrada pode ser representada graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(- 1, Undefined), (0, 0), (1, 0.35)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & Undefined \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.35 \end{array}$

Etapa 5