Cálculo Exemplos

$\sqrt{\ln (x)}$

Etapa 1

Encontre o domínio para $y = \sqrt{\ln (x)}$ de modo que uma lista de valores $x$ possa ser escolhida para encontrar uma lista de pontos, o que ajudará a representar graficamente o radical.

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Etapa 1.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x > 0$

Etapa 1.2

Defina o radicando em $\sqrt{\ln (x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\ln (x) \geq 0$

Etapa 1.3

Resolva $x$ .

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Etapa 1.3.1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\ln (x) = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva a equação.

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Etapa 1.3.2.1

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{0}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva $\ln (x) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x$

Etapa 1.3.2.3

Resolva $x$ .

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Etapa 1.3.2.3.1

Reescreva a equação como $x = e^{0}$ .

$x = e^{0}$

Etapa 1.3.2.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x = 1$

Etapa 1.3.3

Encontre o domínio de $\ln (x)$ .

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Etapa 1.3.3.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x > 0$

Etapa 1.3.3.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(0, \infty)$

Etapa 1.3.4

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \geq 1$

Etapa 1.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 1}$

Notação de intervalo:

$[1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 1}$

Etapa 2

Para encontrar o ponto final da expressão com radicais, substitua o valor $x$ $1$ , que é o menor valor no domínio, em $f (x) = \sqrt{\ln (x)}$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \sqrt{\ln (1)}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (1) = \sqrt{0}$

Etapa 2.2.2

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (1) = \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (1) = 0$

Etapa 2.2.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3

O ponto final da expressão com radicais é $(1, 0)$ .

$(1, 0)$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ a partir do domínio. É mais útil selecionar os valores de forma que fiquem próximos do valor $x$ do ponto final da expressão com radicais.

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Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = \sqrt{\ln (x)}$ . Nesse caso, o ponto é $(2, \sqrt{\ln (2)})$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \sqrt{\ln (2)}$

Etapa 4.1.2

A resposta final é $\sqrt{\ln (2)}$ .

$y = \sqrt{\ln (2)}$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $3$ em $f (x) = \sqrt{\ln (x)}$ . Nesse caso, o ponto é $(3, \sqrt{\ln (3)})$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \sqrt{\ln (3)}$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $\sqrt{\ln (3)}$ .

$y = \sqrt{\ln (3)}$

Etapa 4.3

A raiz quadrada pode ser representada graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(1, 0), (2, 0.83), (3, 1.05)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.83 \\ 3 & 1.05 \end{array}$

Etapa 5