Cálculo Exemplos

$\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

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Etapa 1.1

Encontre onde a expressão $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ é indefinida.

$x \leq - \frac{5}{7}$

Etapa 1.2

$\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ a partir da esquerda e $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - \frac{5}{7}$

Etapa 1.3

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 1.3.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.3.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 5)}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

Etapa 1.3.1.1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

Etapa 1.3.1.1.3

Como o expoente $7 x + 5$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{7 x + 5}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.3.1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.3.1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Etapa 1.3.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Etapa 1.3.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 7 x + 5$ .

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Etapa 1.3.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Etapa 1.3.1.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Etapa 1.3.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Etapa 1.3.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Etapa 1.3.1.3.4

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Etapa 1.3.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Etapa 1.3.1.3.6

Multiplique $7$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Etapa 1.3.1.3.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Etapa 1.3.1.3.8

Some $7$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \cdot 7}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Etapa 1.3.1.3.9

Combine $\frac{1}{7 x + 5}$ e $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Etapa 1.3.1.3.10

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 x + 5$ .

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Etapa 1.3.1.3.10.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Etapa 1.3.1.3.10.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Etapa 1.3.1.3.10.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Etapa 1.3.1.3.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}$

Etapa 1.3.1.3.12

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}$

Etapa 1.3.1.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}$

Etapa 1.3.1.3.14

Multiplique $7$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}$

Etapa 1.3.1.3.15

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + 0)}$

Etapa 1.3.1.3.16

Some $7$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \cdot 7}$

Etapa 1.3.1.3.17

Mova $7$ para a esquerda de $e^{7 x + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{7 e^{7 x + 5}}$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{7 x + 5} \cdot \frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$

Etapa 1.3.1.5

Multiplique $\frac{7}{7 x + 5}$ por $\frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

Etapa 1.3.1.6

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 1.3.1.6.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

Etapa 1.3.1.6.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$

Etapa 1.3.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$ se aproxima de $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 0$

Etapa 1.5

Não há assíntotas oblíquas presentes para as funções logarítmicas e trigonométricas.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 1.6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{5}{7}$

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Assíntotas verticais: $x = - \frac{5}{7}$

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = 1$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{\ln (7 (1) + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique $7$ por $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (7 + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

Etapa 2.2.1.2

Some $7$ e $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 (1) + 5}}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $7$ por $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 + 5}}$

Etapa 2.2.2.2

Some $7$ e $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{12}}$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ .

$\frac{\ln (12)}{e^{12}}$

Etapa 2.3

Converta $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ em decimal.

$y = 1.52677941 \times 10^{- 5}$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = 2$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{\ln (7 (2) + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique $7$ por $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (14 + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

Etapa 3.2.1.2

Some $14$ e $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{7 (2) + 5}}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $7$ por $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{14 + 5}}$

Etapa 3.2.2.2

Some $14$ e $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{19}}$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ .

$\frac{\ln (19)}{e^{19}}$

Etapa 3.3

Converta $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ em decimal.

$y = 1.64970922 \times 10^{- 8}$

Etapa 4

Encontre o ponto em $x = 3$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{\ln (7 (3) + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $7$ por $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (21 + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

Etapa 4.2.1.2

Some $21$ e $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{7 (3) + 5}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $7$ por $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{21 + 5}}$

Etapa 4.2.2.2

Some $21$ e $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{26}}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ .

$\frac{\ln (26)}{e^{26}}$

Etapa 4.3

Converta $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ em decimal.

$y = 1.66459052 \times 10^{- 11}$

Etapa 5

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = - \frac{5}{7}$ e os pontos $(1, 1.52677941), (2, 1.64970922), (3, 1.66459052)$ .

Assíntota vertical: $x = - \frac{5}{7}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.527 \\ 2 & 1.65 \\ 3 & 1.665 \end{array}$

Etapa 6