Cálculo Exemplos

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

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Etapa 1.1

Encontre onde a expressão $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ é indefinida.

$x = 0$

Etapa 1.2

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.2.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.2.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Etapa 1.2.1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Etapa 1.2.1.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Etapa 1.2.1.1.2.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Etapa 1.2.1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.1.1.2.3.1

Uma constante diferente de zero vezes infinito é igual a infinito.

$\frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Etapa 1.2.1.1.2.3.2

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Etapa 1.2.1.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 1.2.1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 1.2.1.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.2.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.2.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.2.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \ln (x^{2})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.2.1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.2.1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

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Etapa 1.2.1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x^{2})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.2.1.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.2.1.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.2.1.3.4.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.2.1.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.2.1.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{x^{2}} (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.2.1.3.4.4

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{2}{x^{2}} x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.2.1.3.4.5

Combine $\frac{2}{x^{2}}$ e $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.2.1.3.4.6

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 1.2.1.3.4.6.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.2.1.3.4.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.1.3.4.6.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.2.1.3.4.6.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.2.1.3.4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.2.1.3.5

Subtraia $\frac{2}{x}$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.2.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x}}{3 x^{2}}$

Etapa 1.2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Etapa 1.2.1.5

Combine os fatores.

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Etapa 1.2.1.5.1

Multiplique $\frac{1}{3 x^{2}}$ por $\frac{2}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{2} x}$

Etapa 1.2.1.5.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 (x^{1} x^{2})}$

Etapa 1.2.1.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{1 + 2}}$

Etapa 1.2.1.5.4

Some $1$ e $2$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{3}}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.2.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to \infty} \frac{2}{3 x^{3}}$

Etapa 1.2.2.2

Mova o termo $\frac{2}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.2.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot 0$

Etapa 1.2.4

Multiplique $- \frac{2}{3} \cdot 0$ .

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Etapa 1.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{2}{3})$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$0$

Etapa 1.3

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 0$

Etapa 1.4

Não há assíntotas oblíquas presentes para as funções logarítmicas e trigonométricas.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 1.5

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Assíntotas verticais: $x = 0$

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = 1$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{1 - 2 \ln (1)}{{(1)}^{3}}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.1.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (1) = \frac{1 - 2 \cdot 0}{1^{3}}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f (1) = \frac{1 + 0}{1^{3}}$

Etapa 2.2.1.3

Some $1$ e $0$ .

$f (1) = \frac{1}{1^{3}}$

Etapa 2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{1}{1}$

Etapa 2.2.2.2

Divida $1$ por $1$ .

$f (1) = 1$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 2.3

Converta $1$ em decimal.

$y = 1$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = 2$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{1 - 2 \ln (2)}{{(2)}^{3}}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 2 \ln (2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (2) = \frac{1 - \ln (2^{2})}{2^{3}}$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = \frac{1 - \ln (4)}{2^{3}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2) = \frac{1 - \ln (4)}{8}$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $\frac{1 - \ln (4)}{8}$ .

$\frac{1 - \ln (4)}{8}$

Etapa 3.3

Converta $\frac{1 - \ln (4)}{8}$ em decimal.

$y = - 0.04828679$

Etapa 4

Encontre o ponto em $x = 3$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{1 - 2 \ln (3)}{{(3)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique $- 2 \ln (3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (3) = \frac{1 - \ln (3^{2})}{3^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = \frac{1 - \ln (9)}{3^{3}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = \frac{1 - \ln (9)}{27}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $\frac{1 - \ln (9)}{27}$ .

$\frac{1 - \ln (9)}{27}$

Etapa 4.3

Converta $\frac{1 - \ln (9)}{27}$ em decimal.

$y = - 0.04434165$

Etapa 5

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = 0$ e os pontos $(1, 1), (2, - 0.04828679), (3, - 0.04434165)$ .

Assíntota vertical: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & - 0.048 \\ 3 & - 0.044 \end{array}$

Etapa 6