Cálculo Exemplos

$\frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{x})}^{3} (\ln (x)))$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre onde a expressão $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ é indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 1.2

$\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da esquerda e $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 0$

Etapa 1.3

Ignorando o algoritmo, considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 1.4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 3$

Etapa 1.5

Como $n = m$ , a assíntota horizontal é a reta $y = \frac{a}{b}$ , em que $a = 64$ e $b = 3$ .

$y = \frac{64}{3}$

Etapa 1.6

Não há assíntotas oblíquas presentes para as funções logarítmicas e trigonométricas.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 1.7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Assíntotas horizontais: $y = \frac{64}{3}$

Assíntotas verticais: $x = 0$

Assíntotas horizontais: $y = \frac{64}{3}$

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = 1$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{1})}^{3} (\ln (1)))$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Divida $1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + 1)}^{3} \ln (1))$

Etapa 2.2.2

Some $4$ e $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (5^{3} \ln (1))$

Etapa 2.2.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \ln (1))$

Etapa 2.2.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \cdot 0)$

Etapa 2.2.5

Multiplique $125$ por $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 0$

Etapa 2.2.6

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$f (1) = 0$

Etapa 2.2.7

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 2.3

Converta $0$ em decimal.

$y = 0$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = 2$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{2})}^{3} (\ln (2)))$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

Etapa 3.2.2

Combine $4$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

Etapa 3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

Etapa 3.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{8 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

Etapa 3.2.4.2

Some $8$ e $1$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{9}{2})}^{3} \ln (2))$

Etapa 3.2.5

Aplique a regra do produto a $\frac{9}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{9^{3}}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

Etapa 3.2.6

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

Etapa 3.2.7

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{8} \cdot \ln (2))$

Etapa 3.2.8

Simplifique $\frac{729}{8} \ln (2)$ movendo $\frac{729}{8}$ para dentro do logaritmo.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot \ln (2^{\frac{729}{8}})$

Etapa 3.2.9

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (2^{\frac{729}{8}})$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$f (2) = \ln ({(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 3.2.10

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 3.2.10.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{729}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Etapa 3.2.10.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.10.2.1

Fatore $3$ de $729$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 (243)}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Etapa 3.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 \cdot 243}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Etapa 3.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$f (2) = \ln (2^{\frac{243}{8}})$

Etapa 3.2.11

A resposta final é $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ .

$\ln (2^{\frac{243}{8}})$

Etapa 3.3

Converta $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ em decimal.

$y = 21.0543456$

Etapa 4

Encontre o ponto em $x = 3$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{3})}^{3} (\ln (3)))$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

Etapa 4.2.2

Combine $4$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

Etapa 4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

Etapa 4.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.4.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{12 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

Etapa 4.2.4.2

Some $12$ e $1$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{13}{3})}^{3} \ln (3))$

Etapa 4.2.5

Aplique a regra do produto a $\frac{13}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{13^{3}}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

Etapa 4.2.6

Eleve $13$ à potência de $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

Etapa 4.2.7

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{27} \cdot \ln (3))$

Etapa 4.2.8

Simplifique $\frac{2197}{27} \ln (3)$ movendo $\frac{2197}{27}$ para dentro do logaritmo.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (3^{\frac{2197}{27}})$

Etapa 4.2.9

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (3^{\frac{2197}{27}})$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$f (3) = \ln ({(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.2.10

Multiplique os expoentes em ${(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 4.2.10.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}})$

Etapa 4.2.10.2

Multiplique $\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 4.2.10.2.1

Multiplique $\frac{2197}{27}$ por $\frac{1}{3}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27 \cdot 3}})$

Etapa 4.2.10.2.2

Multiplique $27$ por $3$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{81}})$

Etapa 4.2.11

A resposta final é $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ .

$\ln (3^{\frac{2197}{81}})$

Etapa 4.3

Converta $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ em decimal.

$y = 29.79816294$

Etapa 5

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = 0$ e os pontos $(1, 0), (2, 21.0543456), (3, 29.79816294)$ .

Assíntota vertical: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 21.054 \\ 3 & 29.798 \end{array}$

Etapa 6