Cálculo Exemplos

$y = {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{3})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{5 x + 1}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{5 x + 1}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{5 x + 1}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 5$ e $g (x) = 5 x + 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.2

Multiplique $5 x + 1$ por $1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.6

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.8

Multiplique $5$ por $1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 + 0)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.10

Combine frações.

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Etapa 3.3.10.1

Some $5$ e $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) \cdot 5}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.10.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - 5 (x - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.10.3

Combine $\frac{5 x + 1 - 5 (x - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}}$ e $3$ .

$\frac{(5 x + 1 - 5 (x - 5)) \cdot 3}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2}$

Etapa 3.3.10.4

Mova $3$ para a esquerda de $5 x + 1 - 5 (x - 5)$ .

$\frac{3 \cdot (5 x + 1 - 5 (x - 5))}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

$\frac{3 (5 x + 1 - 5 (x - 5))}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (5 x + 1 - 5 x - 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (5 x) + 3 \cdot 1 + 3 (- 5 x) + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.4

Combine os termos.

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Etapa 3.4.4.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{15 x + 3 \cdot 1 + 3 (- 5 x) + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{15 x + 3 + 3 (- 5 x) + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.4.3

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{15 x + 3 - 15 x + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.4.4

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$\frac{15 x + 3 - 15 x + 3 \cdot 25}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.4.5

Multiplique $3$ por $25$ .

$\frac{15 x + 3 - 15 x + 75}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.4.6

Subtraia $15 x$ de $15 x$ .

$\frac{0 + 3 + 75}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.4.7

Some $0$ e $3$ .

$\frac{3 + 75}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.4.8

Some $3$ e $75$ .

$\frac{78}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.4.9

Multiplique $\frac{78}{{(5 x + 1)}^{2}}$ por $\frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2} {(5 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.4.10

Multiplique ${(5 x + 1)}^{2}$ por ${(5 x + 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.4.10.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2 + 2}}$

Etapa 3.4.4.10.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{4}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{4}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{4}}$