Cálculo Exemplos

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln^{12} (x) + \ln (x^{12}))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)]$ .

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Etapa 4.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{12}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 4.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{12}] \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Etapa 4.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 12$ .

$12 {u_{1}}^{11} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Etapa 4.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (x)$ .

$12 \ln^{11} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Etapa 4.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$12 \ln^{11} (x) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Etapa 4.2.3

Combine $\frac{1}{x}$ e $12$ .

$\frac{12}{x} \ln^{11} (x) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Etapa 4.2.4

Combine $\frac{12}{x}$ e $\ln^{11} (x)$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ .

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Etapa 4.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{12}$ .

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Etapa 4.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Etapa 4.3.1.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Etapa 4.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 12$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} (12 x^{11})$

Etapa 4.3.3

Combine $12$ e $\frac{1}{x^{12}}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x^{12}} x^{11}$

Etapa 4.3.4

Combine $\frac{12}{x^{12}}$ e $x^{11}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12 x^{11}}{x^{12}}$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $x^{11}$ e $x^{12}$ .

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Etapa 4.3.5.1

Fatore $x^{11}$ de $12 x^{11}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{12}}$

Etapa 4.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.5.2.1

Fatore $x^{11}$ de $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

Etapa 4.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

Etapa 4.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$