Cálculo Exemplos

${(2 x - y)}^{2} - 3 y = 2$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(2 x - y)}^{2} - 3 y) = \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(2 x - y)}^{2}$ como $(2 x - y) (2 x - y)$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - y) (2 x - y) - 3 y]$

Etapa 2.2

Expanda $(2 x - y) (2 x - y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x - y) - y (2 x - y) - 3 y]$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x (- y) - y (2 x - y) - 3 y]$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Etapa 2.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x y - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Etapa 2.3.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 1 \cdot 2 y x - y (- y) - 3 y]$

Etapa 2.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - y (- y) - 3 y]$

Etapa 2.3.1.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y - 3 y]$

Etapa 2.3.1.9

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.9.1

Mova $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - 3 y]$

Etapa 2.3.1.9.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 y^{2} - 3 y]$

Etapa 2.3.1.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x + 1 y^{2} - 3 y]$

Etapa 2.3.1.11

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x + y^{2} - 3 y]$

Etapa 2.3.2

Subtraia $2 y x$ de $- 2 x y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Mova $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 x y + y^{2} - 3 y]$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $2 x y$ de $- 2 x y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 3 y]$

Etapa 2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 3 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Etapa 2.5.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Etapa 2.6

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

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Etapa 2.6.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x y$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$8 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$8 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Etapa 2.6.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Etapa 2.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Etapa 2.6.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Etapa 2.7

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 2.7.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.7.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Etapa 2.7.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Etapa 2.7.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Etapa 2.7.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Etapa 2.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

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Etapa 2.8.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 y$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y y' - 3 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.8.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y y' - 3 y'$

Etapa 2.9

Simplifique.

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Etapa 2.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x - 4 (x y') - 4 y + 2 y y' - 3 y'$

Etapa 2.9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$8 x - 4 x y' - 4 y + 2 y y' - 3 y'$

Etapa 2.9.3

Reordene os termos.

$- 4 x y' + 2 y y' + 8 x - 4 y - 3 y'$

Etapa 3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 4 x y' + 2 y y' + 8 x - 4 y - 3 y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $8 x$ dos dois lados da equação.

$- 4 x y' + 2 y y' - 4 y - 3 y' = - 8 x$

Etapa 5.1.2

Some $4 y$ aos dois lados da equação.

$- 4 x y' + 2 y y' - 3 y' = - 8 x + 4 y$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $- 4 x y' + 2 y y' - 3 y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $- 4 x y'$ .

$y' (- 4 x) + 2 y y' - 3 y' = - 8 x + 4 y$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (- 4 x) + y' (2 y) - 3 y' = - 8 x + 4 y$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $- 3 y'$ .

$y' (- 4 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 3 = - 8 x + 4 y$

Etapa 5.2.4

Fatore $y'$ de $y' (- 4 x) + y' (2 y)$ .

$y' (- 4 x + 2 y) + y' \cdot - 3 = - 8 x + 4 y$

Etapa 5.2.5

Fatore $y'$ de $y' (- 4 x + 2 y) + y' \cdot - 3$ .

$y' (- 4 x + 2 y - 3) = - 8 x + 4 y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (- 4 x + 2 y - 3) = - 8 x + 4 y$ por $- 4 x + 2 y - 3$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (- 4 x + 2 y - 3) = - 8 x + 4 y$ por $- 4 x + 2 y - 3$ .

$\frac{y' (- 4 x + 2 y - 3)}{- 4 x + 2 y - 3} = \frac{- 8 x}{- 4 x + 2 y - 3} + \frac{4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4 x + 2 y - 3$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 4 x + 2 y - 3)}{- 4 x + 2 y - 3} = \frac{- 8 x}{- 4 x + 2 y - 3} + \frac{4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{- 4 x + 2 y - 3} + \frac{4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 8 x + 4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $4$ de $- 8 x + 4 y$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $4$ de $- 8 x$ .

$y' = \frac{4 (- 2 x) + 4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Etapa 5.3.3.2.2

Fatore $4$ de $4 y$ .

$y' = \frac{4 (- 2 x) + 4 (y)}{- 4 x + 2 y - 3}$

Etapa 5.3.3.2.3

Fatore $4$ de $4 (- 2 x) + 4 (y)$ .

$y' = \frac{4 (- 2 x + y)}{- 4 x + 2 y - 3}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{4 (- (2 x) + y)}{- 4 x + 2 y - 3}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{4 (- (2 x) - 1 (- y))}{- 4 x + 2 y - 3}$

Etapa 5.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{4 (- (2 x - y))}{- 4 x + 2 y - 3}$

Etapa 5.3.3.6

Reescreva $- (2 x - y)$ como $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- 4 x + 2 y - 3}$

Etapa 5.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- 4 x$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x) + 2 y - 3}$

Etapa 5.3.3.8

Fatore $- 1$ de $2 y$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x) - (- 2 y) - 3}$

Etapa 5.3.3.9

Fatore $- 1$ de $- (4 x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x - 2 y) - 3}$

Etapa 5.3.3.10

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x - 2 y) - 1 (3)}$

Etapa 5.3.3.11

Fatore $- 1$ de $- (4 x - 2 y) - 1 (3)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x - 2 y + 3)}$

Etapa 5.3.3.12

Reescreva $- (4 x - 2 y + 3)$ como $- 1 (4 x - 2 y + 3)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- 1 (4 x - 2 y + 3)}$

Etapa 5.3.3.13

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- 1 (4 x - 2 y + 3)}$

Etapa 5.3.3.14

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{4 (2 x - y)}{4 x - 2 y + 3}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (2 x - y)}{4 x - 2 y + 3}$