Cálculo Exemplos

$e^{5 y} + x = 7 y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (e^{5 y} + x) = \frac{d}{d x} (7 y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{5 y} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{5 y}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{5 y}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{5 y}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 y$ .

$e^{5 y} \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 y$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{5 y} (5 \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{5 y} (5 y') + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{5 y} (5 y') + 1$

Etapa 2.3.2

Reordene os termos.

$5 e^{5 y} y' + 1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 y$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [y]$ .

$7 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$7 y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$5 e^{5 y} y' + 1 = 7 y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reordene os fatores em $5 e^{5 y} y' + 1$ .

$5 y' e^{5 y} + 1 = 7 y'$

Etapa 5.2

Subtraia $7 y'$ dos dois lados da equação.

$5 y' e^{5 y} + 1 - 7 y' = 0$

Etapa 5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$5 y' e^{5 y} - 7 y' = - 1$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $5 y' e^{5 y} - 7 y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $5 y' e^{5 y}$ .

$y' (5 e^{5 y}) - 7 y' = - 1$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $- 7 y'$ .

$y' (5 e^{5 y}) + y' \cdot - 7 = - 1$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $y' (5 e^{5 y}) + y' \cdot - 7$ .

$y' (5 e^{5 y} - 7) = - 1$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (5 e^{5 y} - 7) = - 1$ por $5 e^{5 y} - 7$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (5 e^{5 y} - 7) = - 1$ por $5 e^{5 y} - 7$ .

$\frac{y' (5 e^{5 y} - 7)}{5 e^{5 y} - 7} = \frac{- 1}{5 e^{5 y} - 7}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $5 e^{5 y} - 7$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (5 e^{5 y} - 7)}{5 e^{5 y} - 7} = \frac{- 1}{5 e^{5 y} - 7}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{5 e^{5 y} - 7}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1}{5 e^{5 y} - 7}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 e^{5 y} - 7}$