Cálculo Exemplos

$\frac{x}{x^{2} + 49}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x}{x^{2} + 49}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 49$ .

$\frac{(x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 49) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique $x^{2} + 49$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 49 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{x^{2} + 49 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.5

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 49 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 2.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 49 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 2.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 2.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 2.1.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 49}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.6

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.7

Some $- 2 x$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 49$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 49$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 49$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (2 (x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x + \frac{d}{d x} [49]))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.4

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 49$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) (2 \cdot (x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 2 {(x^{2} + 49)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.2

Reescreva ${(x^{2} + 49)}^{2}$ como $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ .

$\frac{- 2 ((x^{2} + 49) (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.3

Expanda $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 49) + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.4.1.2

Mova $49$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 49 \cdot x^{2} + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.4.1.3

Multiplique $49$ por $49$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 49 x^{2} + 49 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.4.2

Some $49 x^{2}$ e $49 x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 98 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(- 2 x^{4} - 2 (98 x^{2}) - 2 \cdot 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.6.1

Multiplique $98$ por $- 2$ .

$\frac{(- 2 x^{4} - 196 x^{2} - 2 \cdot 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.6.2

Multiplique $- 2$ por $2401$ .

$\frac{(- 2 x^{4} - 196 x^{2} - 4802) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x^{4} x - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.8.1.1

Mova $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{4}) - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 x^{1 + 4} - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.1.3

Some $1$ e $4$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.8.2.1

Mova $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 (x \cdot x^{2}) - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 (x^{1} x^{2}) - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{1 + 2} - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.9.2

Multiplique $- 4$ por $49$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.10

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.10.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2} x^{1} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2 + 1} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.10.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.11

Expanda $(4 x^{2} - 196) (x^{3} + 49 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} (x^{3} + 49 x) - 196 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (49 x) - 196 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{2} x - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 (x \cdot x^{2}) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 (x^{1} x^{2}) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{1 + 2} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{3} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.4

Multiplique $4$ por $49$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 196 x^{3} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.5

Multiplique $49$ por $- 196$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 196 x^{3} - 196 x^{3} - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.2

Subtraia $196 x^{3}$ de $196 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 0 - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.3

Some $4 x^{5}$ e $0$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.2

Some $- 2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.3

Subtraia $9604 x$ de $- 4802 x$ .

$\frac{2 x^{5} - 196 x^{3} - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.4.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5} - 196 x^{3} - 14406 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.4.1.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 196 x^{3} - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.1.2

Fatore $2 x$ de $- 196 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2}) - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.1.3

Fatore $2 x$ de $- 14406 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.1.4

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2})$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.1.5

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$\frac{2 x (u^{2} - 98 u - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.4

Fatore $u^{2} - 98 u - 7203$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 7203$ e cuja soma é $- 98$ .

$- 147, 49$

Etapa 2.2.5.4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{2 x ((u - 147) (u + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 49$ e ${(x^{2} + 49)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.5.1

Fatore $x^{2} + 49$ de $2 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.5.2.1

Fatore $x^{2} + 49$ de ${(x^{2} + 49)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 2.2.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 2.2.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x (x^{2} - 147) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 147 = 0$

Etapa 3.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.3.3

Defina $x^{2} - 147$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Defina $x^{2} - 147$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 147 = 0$

Etapa 3.3.3.2

Resolva $x^{2} - 147 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Some $147$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 147$

Etapa 3.3.3.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{147}$

Etapa 3.3.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{147}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.3.1

Reescreva $147$ como $7^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.3.1.1

Fatore $49$ de $147$ .

$x = \pm \sqrt{49 (3)}$

Etapa 3.3.3.2.3.1.2

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{7^{2} \cdot 3}$

Etapa 3.3.3.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 7 \sqrt{3}$

Etapa 3.3.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 7 \sqrt{3}$

Etapa 3.3.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 7 \sqrt{3}$

Etapa 3.3.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 7 \sqrt{3}, - 7 \sqrt{3}$

Etapa 3.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x^{2} - 147) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 7 \sqrt{3}, - 7 \sqrt{3}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 49}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 49}$

Etapa 4.1.2.1.2

Some $0$ e $49$ .

$f (0) = \frac{0}{49}$

Etapa 4.1.2.2

Divida $0$ por $49$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 4.3

Substitua $7 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $7 \sqrt{3}$ na expressão.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{{(7 \sqrt{3})}^{2} + 49}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $7 \sqrt{3}$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

Etapa 4.3.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 49}$

Etapa 4.3.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 49}$

Etapa 4.3.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

Etapa 4.3.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

Etapa 4.3.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

Etapa 4.3.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $49$ por $3$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{147 + 49}$

Etapa 4.3.2.1.5

Some $147$ e $49$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{196}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum de $7$ e $196$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Fatore $7$ de $7 \sqrt{3}$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 (\sqrt{3})}{196}$

Etapa 4.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.2.1

Fatore $7$ de $196$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7 \cdot 28}$

Etapa 4.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7 \cdot 28}$

Etapa 4.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{28}$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $\frac{\sqrt{3}}{28}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{28}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $7 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ é $(7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$

Etapa 4.5

Substitua $- 7 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua a variável $x$ por $- 7 \sqrt{3}$ na expressão.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{{(- 7 \sqrt{3})}^{2} + 49}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- 7 \sqrt{3}$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{{(- 7)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

Etapa 4.5.2.1.2

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

Etapa 4.5.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 49}$

Etapa 4.5.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 49}$

Etapa 4.5.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

Etapa 4.5.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

Etapa 4.5.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

Etapa 4.5.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

Etapa 4.5.2.1.4

Multiplique $49$ por $3$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{147 + 49}$

Etapa 4.5.2.1.5

Some $147$ e $49$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{196}$

Etapa 4.5.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 7$ e $196$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1.1

Fatore $7$ de $- 7 \sqrt{3}$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{196}$

Etapa 4.5.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1.2.1

Fatore $7$ de $196$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{7 (28)}$

Etapa 4.5.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{7 \cdot 28}$

Etapa 4.5.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{28}$

Etapa 4.5.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 7 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{28}$

Etapa 4.5.2.3

A resposta final é $- \frac{\sqrt{3}}{28}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{28}$

Etapa 4.6

O ponto encontrado ao substituir $- 7 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ é $(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$

Etapa 4.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28}), (- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 7 \sqrt{3}) \cup (- 7 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 7 \sqrt{3}) \cup (7 \sqrt{3}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 12.22435565$ na expressão.

$f'' (- 12.22435565) = \frac{2 (- 12.22435565) ({(- 12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 12.22435565$ .

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 24.4487113 ({(- 12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 24.4487113$ por ${(- 12.22435565)}^{2} - 147$ .

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 12.22435565$ à potência de $2$ .

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{(149.43487113 + 49)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $149.43487113$ e $49$ .

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{198.43487113}^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $198.43487113$ à potência de $3$ .

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{7813650.47871413}$

Etapa 6.2.3

Divida $- 59.52946133$ por $7813650.47871413$ .

$f'' (- 12.22435565) = - 0.00000761$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- 0.00000761$ .

$- 0.00000761$

Etapa 6.3

Em $- 12.22435565$ , a segunda derivada é $- 7.61864911 E - 6$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 6.06217782$ na expressão.

$f'' (- 6.06217782) = \frac{2 (- 6.06217782) ({(- 6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 6.06217782$ .

$f'' (- 6.06217782) = \frac{- 12.12435565 ({(- 6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 12.12435565$ por ${(- 6.06217782)}^{2} - 147$ .

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $- 6.06217782$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{(36.75 + 49)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $36.75$ e $49$ .

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{85.75}^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $85.75$ à potência de $3$ .

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{630525.109375}$

Etapa 7.2.3

Divida $1336.71021074$ por $630525.109375$ .

$f'' (- 6.06217782) = 0.00211999$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $0.00211999$ .

$0.00211999$

Etapa 7.3

Em $- 6.06217782$ , a segunda derivada é $0.00211999$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ .

Acréscimo em $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 7 \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $6.06217782$ na expressão.

$f'' (6.06217782) = \frac{2 (6.06217782) ({(6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $2$ por $6.06217782$ .

$f'' (6.06217782) = \frac{12.12435565 ({6.06217782}^{2} - 147)}{{({6.06217782}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $12.12435565$ por ${6.06217782}^{2} - 147$ .

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{({6.06217782}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $6.06217782$ à potência de $2$ .

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{(36.75 + 49)}^{3}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $36.75$ e $49$ .

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{85.75}^{3}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $85.75$ à potência de $3$ .

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{630525.109375}$

Etapa 8.2.3

Divida $- 1336.71021074$ por $630525.109375$ .

$f'' (6.06217782) = - 0.00211999$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- 0.00211999$ .

$- 0.00211999$

Etapa 8.3

Em $6.06217782$ , a segunda derivada é $- 0.00211999$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, 7 \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(0, 7 \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(7 \sqrt{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $12.22435565$ na expressão.

$f'' (12.22435565) = \frac{2 (12.22435565) ({(12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Multiplique $2$ por $12.22435565$ .

$f'' (12.22435565) = \frac{24.4487113 ({12.22435565}^{2} - 147)}{{({12.22435565}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $24.4487113$ por ${12.22435565}^{2} - 147$ .

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{({12.22435565}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Eleve $12.22435565$ à potência de $2$ .

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{(149.43487113 + 49)}^{3}}$

Etapa 9.2.2.2

Some $149.43487113$ e $49$ .

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{198.43487113}^{3}}$

Etapa 9.2.2.3

Eleve $198.43487113$ à potência de $3$ .

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{7813650.47871413}$

Etapa 9.2.3

Divida $59.52946133$ por $7813650.47871413$ .

$f'' (12.22435565) = 0.00000761$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $0.00000761$ .

$0.00000761$

Etapa 9.3

Em $12.22435565$ , a segunda derivada é $7.61864911 E - 6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(7 \sqrt{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(7 \sqrt{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 10

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28}), (0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$ .

$(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28}), (0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$

Etapa 11