Cálculo Exemplos

$6 e^{5 t} = 3 e^{2 t}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (6 e^{5 t}) = \ln (3 e^{2 t})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Reescreva $\ln (6 e^{5 t})$ como $\ln (6) + \ln (e^{5 t})$ .

$\ln (6) + \ln (e^{5 t}) = \ln (3 e^{2 t})$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (e^{5 t})$ movendo $5 t$ para fora do logaritmo.

$\ln (6) + 5 t \ln (e) = \ln (3 e^{2 t})$

Etapa 2.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (6) + 5 t \cdot 1 = \ln (3 e^{2 t})$

Etapa 2.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3 e^{2 t})$

Etapa 3

Expanda o lado direito.

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Etapa 3.1

Reescreva $\ln (3 e^{2 t})$ como $\ln (3) + \ln (e^{2 t})$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + \ln (e^{2 t})$

Etapa 3.2

Expanda $\ln (e^{2 t})$ movendo $2 t$ para fora do logaritmo.

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t \ln (e)$

Etapa 3.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t$

Etapa 4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (6) - \ln (3) = - 5 t + 2 t$

Etapa 5

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{6}{3}) = - 5 t + 2 t$

Etapa 6

Divida $6$ por $3$ .

$\ln (2) = - 5 t + 2 t$

Etapa 7

Some $- 5 t$ e $2 t$ .

$\ln (2) = - 3 t$

Etapa 8

Como $t$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- 3 t = \ln (2)$

Etapa 9

Divida cada termo em $- 3 t = \ln (2)$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Divida cada termo em $- 3 t = \ln (2)$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 t}{- 3} = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 t}{- 3} = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Etapa 9.2.1.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{\ln (2)}{3}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$t = - \frac{\ln (2)}{3}$

Forma decimal:

$t = - 0.23104906 \dots$